Question

如圖，F(xiàn)為⊙O的直徑BA延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)C切⊙O于點(diǎn)C，CD⊥AB交于點(diǎn)D，E為

AB

上一點(diǎn)，

AC

=

CE

．
（1）求證：△BCF∽△BEC；
（2）若AD=4，CD=8，求S_△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠E=∠FCB，∠FBC=∠EBC，即可解決問題；
（2）首先求出線段BD的長度，運(yùn)用三角形的面積公式即可解決問題．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠BAC=90°-∠ABC；
∴∠E=180°-∠BAC=90°+∠ABC；
∵CF為⊙O的切線，
∴∠FCA=∠ABC，∠FCB=90°+∠ABC，
∴∠E=∠FCB；
∵

AC

=

CE

，
∴∠FBC=∠EBC，
∴△BCF∽△BEC．
（2）解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴由射影定理得：CD²=AD•DB，
∴BD=

CD2

AD

=

64

4

=16，
S△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×20×8=80．

點(diǎn)評：該命題以圓為載體，以切線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．