Question

在直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（4，0）．點C從點B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位的速度向點A勻速運動，同時點D從點A出發(fā)沿AO方向以每秒1個單位的速度向點O勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點C、D運動的時間是t秒(t>0)．過點C作CE⊥BO于點E，連結(jié)CD、DE．

⑴ 當(dāng)t為何值時，線段CD的長為4；

⑵ 當(dāng)線段DE與以點O為圓心，半徑為的⊙O有兩個公共交點時，求t的取值范圍；

⑶ 當(dāng)t為何值時，以C為圓心、CB為半徑的⊙C與⑵中的⊙O相切？

 

 

Answer 1

(1) ; (2)  4-＜t≤; (3) 或．

【解析】

試題分析：（1）過點C作CF⊥AD于點F，則CF，DF即可利用t表示出來，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一個關(guān)于t的方程，從而求得t的值；

（2）易證四邊形ADEC是平行四邊形，過點O作OG⊥DE于點G，當(dāng)線段DE與⊙O相切時，則OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，則OG也可以利用t表示出來，當(dāng)OG＜時，直線與圓相交，據(jù)此即可求得t的范圍；

（3）分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況進行討論，當(dāng)外切時，圓心距等于兩半徑的和，當(dāng)內(nèi)切時，圓心距等于圓C的半徑減去圓O的半徑，列出方程即可求得t的值．

（1）過點C作CF⊥AD于點F，

在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，

∴∠ABO=30°，

由題意得：BC=2t，AD=t，

∵CE⊥BO，

∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，

∵CF⊥AD，AO⊥BO，

∴四邊形CFOE是矩形，

∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，

在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，

∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，

解得：t=，t=4，

∵0＜t＜4，

∴當(dāng)t=時，線段CD的長是4；

（2）過點O作OG⊥DE于點G（如圖2），

∵AD∥CE，AD=CE=t

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴DE∥AB

∴∠GEO=30°，

∴OG=OE=（4-t）

當(dāng)線段DE與⊙O相切時，則OG=，

∴當(dāng)（4-t）＜，且t≤4-時，線段DE與⊙O有兩個公共交點．

∴當(dāng) 4-＜t≤時，線段DE與⊙O有兩個公共交點；

（3）當(dāng)⊙C與⊙O外切時，t=；

當(dāng)⊙C與⊙O內(nèi)切時，t=；

∴當(dāng)t=或秒時，兩圓相切．

考點：圓的綜合題．