Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別從C、A兩點同時出發(fā)，以相同的速度作直線運動．已知點E沿射線CB運動，點F沿邊BA的延長線運動，連結(jié)DF、DE、EF，EF與對角線AC所在的直線交于點M，DE交AC于點N．
（1）求證：DE⊥DF；
（2）設(shè)CE=x，△AMF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）隨著點E在射線CB上運動，NA•MC的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出NA•MC的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）易得△ADF≌△CDE，從而得到∠FDA=∠EDC，根據(jù)∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，即可證得DE⊥DF；
（2）從E作EP垂直BC，交AC于P，證得△AFM≌△PEM后得到MF=ME，從而得到△MFA中AF上的高為BE的一半，利用三角形的面積表示方法表示出兩個變量之間的關(guān)系即可；
（3）證得△MCD∽△DAN后即可得到：MC：DA=DC：NA，從而將比例式轉(zhuǎn)化為等積式后即可得到：MC×NA=DA×DC=4×4=16，進而說明NA和MC的乘積不發(fā)生變化．

解答：解：（1）E、F分別從C、A兩點同時出發(fā)，以相同的速度作直線運動，
∴CE=AF，
在△ADF和△CDE中，

AD=CD ∠DAF=∠DCE=90° AF=CE

∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠FDA=∠EDC，
∴∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，
∴DE⊥DF；

（2）當點E在BC上時，過點E作EP⊥BC，交AC于P
∵AF⊥BC，EP⊥BC，
∴AF∥EP，∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM
∵P在AC上，∠ECP=45°，
∴CE=PE，AF=PE，
在△AFM和△PEM中，

∠AFM=∠PEM ∠FAM=∠EPM AE=PE

∴△AFM≌△PEM（AAS），
∴MF=ME，
∴△MFA中AF上的高為BE的一半，
∴y=

1

2

x×

1

2

（4-x）=-

1

4

x²+x（0≤x≤4）；
同理，當點E在BC的延長線上時，y=

1

4

x²-x（x＞4）；

（3）由全等可得DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，∠DEF=45°
∵M為EF中點，
∴DM⊥EF．
∴∠MDE=45°
∵∠CMD為△AMD的外角，
∴∠CMD=∠MDA+∠DAC=∠MDA+45°，
∠ADN=∠MDA+∠MDE=∠MDA+45°，
∴∠CMD=∠ADN
∠DCM=∠DAN=45°
∴△MCD∽△DAN
∴MC：DA=DC：NA
∴MC×NA=DA×DC=4×4=16
∴NA和MC的乘積不發(fā)生變化．

點評：本題考查了四邊形的綜合知識，題目中涉及到了相似三角形和全等三角形的知識，難度不是很大，但涉及的知識點比較多．