【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點(不與點B重合)將△BCP沿CP所在的直線翻折,得到,連接,下面有四個判斷:
①當(dāng)AP=BP時,∥CP;
②當(dāng)AP=BP時,
③當(dāng)CP⊥AB時,;
④長度的最小值是1.
所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①③④B.①②C.①②④D.②③④
【答案】C
【解析】
①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及折疊的性質(zhì),易得∠AB′P=∠CPB′,即可得AB′∥CP;②由PA=PB′=PC=PB,可得點A,B′,C,B在以P為圓心,PA長為半徑的圓上,然后由圓周角定理,求得答案;③當(dāng)CP⊥AB時,易證得△ACP∽△ABC,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得AP的長;④易得當(dāng)B′在線段AC上時,AB′的長度有最小值,繼而求得答案.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AP=BP,
∴AP=BP=CP,
由折疊的性質(zhì)可得:CP=B′P,∠CPB′=∠BPC=(180°∠APB′),
∴AP=B′P,
∴∠AB′P=′B′AP=(180°∠APB′),
∴∠AB′P=∠CPB′,
∴AB′∥CP,故①正確;
②∵在△ABC中,∠ACB=90°,AP=BP,將△BCP沿CP所在的直線翻折,得到,
∴PA=PB′=PC=PB,
∴點A,B′,C,B在以P為圓心,PA長為半徑的圓上,
∵∠B′PC與∠B′AC是所對的圓心角和圓周角,
∴∠B′PC=2∠B′AC,故②正確;
③當(dāng)CP⊥AB時,∠APC=∠ACB,
∵∠PAC=∠CAB,
∴△ACP∽△ABC,
∴,
∵在Rt△ABC中,AC==4,
∴AP==,故③錯誤;
④由軸對稱的性質(zhì)可知:BC=CB′=3,
∴CB′長度固定不變,
∵在 AB′C中,AB′>ACB′C,
∴當(dāng)B′在線段AC上時, AB′有最小值,此時,AB′=ACB′C=43=1,故④正確.
故選C.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點O作直線EF⊥BD,且交AC于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分∠ABD.
(1)①求證:四邊形BFDE是菱形;②求∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點,連接FH,并延長FH交ED于點J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時,點E是對角線AC上一點,連接DE,作EF⊥DE,垂足為點E,交AB于點F,連接DF,交AC于點G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有120間標準房,當(dāng)每間標準房每天價格為100元時,每天都客滿,市場調(diào)查表明每間標準房每天價格在100~180元之間(含100元,180元)浮動時,每提高5元,日均入住數(shù)減少3間,每間標準房如果有人入住每天各種費用40元,如果沒人入住每天需各種費用10元,賓館將每間標準房每天價格提高到多少元時,客房的日收益額最大?(注:收益額營業(yè)收入各種費用)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的頂點為M (1,9), 經(jīng)過拋物線上的兩點A(-3,-7)和B (3, m)的直線交拋物線的對稱軸于點C.
(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若點P在拋物線上,點Q在x軸上,當(dāng)以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出滿足足條件的點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是直線與反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象的交點.過點作軸的垂線,垂足為,且.
(1)求點的坐標及的值;
(2)已知點,過點作平行于軸的直線,交直線于點,交反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象于點,交垂線于點.若,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校初二和初三兩個年級各有600名同學(xué),為了科普衛(wèi)生防疫知識,學(xué)校組織了一次在線知識競賽,小宇分別從初二、初三兩個年級隨機抽取了40名同學(xué)的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
.初二、初三年級學(xué)生知識競賽成績不完整的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:,,,,):
.初二年級學(xué)生知識競賽成績在這一組的數(shù)據(jù)如下:
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
.初二、初三學(xué)生知識競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
初二年級 | 80.8 | 96.9 | |
初三年級 | 80.6 | 86 | 153.3 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)補全上面的知識競賽成績頻數(shù)分布直方圖;
(2)寫出表中的值;
(3)同學(xué)看到上述的信息后,說自己的成績能在本年級排在前40%,同學(xué)看到同學(xué)的成績后說:“很遺憾,你的成績在我們年級進不了前50%”.請判斷同學(xué)是________(填“初二”或“初三”)年級的學(xué)生,你判斷的理由是________.
(4)若成績在85分及以上為優(yōu)秀,請估計初二年級競賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為____.
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【題目】小宇設(shè)計了一個隨機碰撞模擬器:在模擬器中有,,三種型號的小球,它們隨機運動,當(dāng)兩個小球相遇時會發(fā)生碰撞(不考慮多個小球相撞的情況).若相同型號的兩個小球發(fā)生碰撞,會變成一個型小球;若不同型號的兩個小球發(fā)生碰撞,則會變成另外一種型號的小球,例如,一個型小球和一個型小球發(fā)生碰撞,會變成一個型小球.現(xiàn)在模擬器中有型小球12個,型小球9個,型小球10個,如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后,最后只剩一個小球.以下說法:
①最后剩下的小球可能是型小球;
②最后剩下的小球一定是型小球;
③最后剩下的小球一定不是型小球.
其中正確的說法是:( )
A.①B.②③C.③D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,點A(2,0)、B(0,4),點C在第一象限內(nèi),雙曲線y=(x>0)經(jīng)過點C.將△ABC沿y軸向上平移m個單位長度,使點A恰好落在雙曲線上,則m的值為________.
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