如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最��？請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：代數(shù)幾何綜合題
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，-1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最小．
解答：解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=2，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）2+k．
將A（-1，0），C（0，5）代入得：
9a+k=0
4a+k=5
，解得
a=-1
k=9
，
∴y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5．

（2）當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．
設(shè)P（x，-x2+4x+5），
如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=-x2+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME
=
1
2
（PN+OF）•ON-
1
2
PN•MN-
1
2
OM•OE
=
1
2
（x+2）（-x2+4x+5）-
1
2
x•（-x2+4x+4）-
1
2
×1×1
=-x2+
9
2
x+
9
2

=-（x-
9
4
）2+
153
16

∴當(dāng)x=
9
4
時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為
153
16
，
把x=
9
4
時(shí)，y=-（
9
4
-2）2+9=
143
16
．
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（
9
4
，
143
16
）．

（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．
令y=-x2+4x+5=3，解得x=2±
6
．
∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+
6
，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．
如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；
作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，-1）；
連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最�。�

設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+
6
，3），M2（1，-1）代入得：
(2+
6
)m+n=3
m+n=-1
，解得：m=
4
6
-4
5
，n=-
4
6
+1
5
，
∴y=
4
6
-4
5
x-
4
6
+1
5
．
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=
6
+5
4
．∴F（
6
+5
4
，0）．
∵a+1=
6
+5
4
，∴a=
6
+1
4
．
∴a=
6
+1
4
時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計(jì)算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對(duì)稱-最短路線的性質(zhì)．試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四個(gè)數(shù)-1，3.14，
1
2
，
2
中為無理數(shù)的是（　�。�
A、-1
B、3.14
C、
1
2
D、
2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AB=13，BC=5．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）如果OD⊥AC，垂足為D，求AD的長(zhǎng)．
（3）求圖中陰影部分的面積（精確到0.1）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)校為豐富學(xué)生課間自由活動(dòng)的內(nèi)容，隨機(jī)選取本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容是“你最喜歡的自由活動(dòng)項(xiàng)目是什么？”，已知喜歡“跳繩”的學(xué)生占被調(diào)查人數(shù)的20%，整理收集到的數(shù)據(jù)后，繪制成如圖．
（1）學(xué)校采用的調(diào)查方式是
 
，被調(diào)查的學(xué)生有
 
名；
（2）求“喜歡踢毽子”的學(xué)生數(shù)，并在圖中補(bǔ)全圖形；
（3）該校共有學(xué)生800名，估計(jì)“喜歡其他”的學(xué)生數(shù)有
 
名．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）計(jì)算：sin230°+cos245°+
2
sin60°•tan45°
（2）解方程：x2-2x=2x+1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）計(jì)算：（-
1
2
）-2-（1-
3
）0+4cos60°
（2）化簡(jiǎn)：（
1
2
-
a
2a+6
）÷
a
a+3
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．
（1）分別判斷函數(shù) y=
1
x
（x＞0）和y=x+1（-4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；
（2）若函數(shù)y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；
（3）將函數(shù) y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足
3
4
≤t≤1？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若代數(shù)式x2-6x+m可化為（x-n）2-1，則m-n=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在⊙O中，弦BC=1，點(diǎn)A是圓上一點(diǎn)，且∠BAC=30°，則⊙O的半徑是
 
．

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