Question

如圖，已知拋物線y=-x²+3x+4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D、點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止），過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交BC與點(diǎn)Q．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒）時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得△DBQ成為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線解析式，令y=0，x=0，可求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），由S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，由于B（4，0），所以0≤x≤4
（3）有三種可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=

5

2

，③DQ=BD=

5

2

，分別討論即可求得．

解答：解：（1）把x=0代入y=-x²+3x+4得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，4）
把y=0代入y=-x²+3x+4得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（4，0）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

b=4 4k+b=0

，解得

k=-1 b=4

，
∴直線BC的解析式為y=-x+4；
（2）如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）
S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×4×x+

1

2

×4×y
=2x+2y
=2x+2（-x²+3x+4）
=-2x²+8x+8．
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，
∴0≤x≤4
∴S=-2x²+8x+8（0≤x≤4）

（3）存在．
∵y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

25

4

），
∵OB=OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，∠ABC=45°，
①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=4-

3

2

=

5

2

，
∴BM=QM=

5

4

，
∴OM=4-

5

4

=

11

4

，
所以Q的坐標(biāo)為Q（

11

4

，

5

4

）．
②若BQ=BD=

5

2

∵△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

，
∴

5 2

4 2

=

QM

4

=

BM

4

，
∴QM=BM=

5 2

4

，
∴OM=4-

5 2

4

，
所以Q的坐標(biāo)為Q（4-

5 2

4

，

5 2

4

）．
③若DQ=BD=

5

2

，
∵∠ABC=45°，
∴DQ⊥BD，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴DQ=BD=

5

2

，
所以Q的坐標(biāo)為Q（

3

2

，

5

2

），
綜上所述，Q的坐標(biāo)為Q（

11

4

，

5

4

）或Q（4-

5 2

4

，

5 2

4

）或Q（

3

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)系里面積表示方法，及尋找特殊三角形的條件問題，涉及分類討論和相似三角形的運(yùn)用．