Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)為正半軸上一動(dòng)點(diǎn)， 連接，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)．

(1)求證：≌；

(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)是否會(huì)變化?如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析；的度數(shù)不會(huì)變化，；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，進(jìn)而可利用SAS證明≌；

（2）設(shè)BC、DE交于點(diǎn)F，如圖1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CAD=∠CBD，進(jìn)而可得結(jié)論；

（3）易求得∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，即得以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AC、OC的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)C的位置．

解：（1）證明：∵△AOB、△BCD是等邊三角形，

∴BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，

∴∠OBC=∠ABD，

∴≌（SAS）；

（2）設(shè)BC、DE交于點(diǎn)F，如圖1，

∵≌，∴∠1=∠2，

∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAD=∠CBD=60°，

∴的度數(shù)不會(huì)變化，且；

（3）∵，∴∠EAC＝120°，∠OAE＝60°，∴∠OEA＝30°，

∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．