【題目】在矩形ABCD中,點P在AD上,AB=,AP=1.將直角尺的頂點放在P處,直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F,連接EF(如圖1).當點E與點B重合時,點F恰好與點C重合(如圖2).將直角尺從圖2中的位置開始,繞點P順時針旋轉(zhuǎn),當點E和點A重合時停止.在這個過程中,從開始到停止,線段EF的中點所經(jīng)過的路徑長為.

【答案】

【解析】

根據(jù)題意先利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得圖2PC的長,再設線段EF的中點為O,連接OP,OB,如圖1,證明得到O點在線段BP的垂直平分線上,然后如圖2,當點E與點B重合時,點F與點C重合時,EF的中點為BC的中點O,當點E與點,A重合時,EF的中點為PB的中點O,得到OO′為△PBC的中位線,即OO′=PC.

解:如圖2,
在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∵AP=1,AB=,
∴PB==2,
∵∠ABP+∠APB=90°,∠BPC=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∴∠ABP=∠DPC,
∴△APB∽△DCP,
∴AP:CD=PB:CP,即1:=2:PC,
∴PC=2,
設線段EF的中點為O,連接OP,OB,如圖1,
Rt△EPF中,OP=EF,
Rt△EBF中,OB=EF,
∴OP=OB,
∴O點在線段BP的垂直平分線上,
如圖2,當點E與點B重合時,點F與點C重合時,EF的中點為BC的中點O,
當點E與點,A重合時,EF的中點為PB的中點O,
∴OO′為△PBC的中位線,
∴OO′=PC=,
∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為.

故答案為:.

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