Question

13．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）曲線C₁和曲線C₂相交于點(diǎn)M，N，求通過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可得出普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，利用和差公式展開可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=1，即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）通過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小的圓是以|MN|為直徑的圓的方程．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線方程與圓的方程聯(lián)立可得：7x²+8x-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，展開可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=1，可得直角坐標(biāo)方程：y-x=1．
（2）通過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小的圓是以|MN|為直徑的圓的方程．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{4}{7}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{2}$=$\frac{3}{7}$，
∴圓心$（-\frac{4}{7}，\frac{3}{7}）$，
∴通過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$（x+\frac{4}{7}）^{2}$+$（y-\frac{3}{7}）^{2}$=$\frac{192}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長問題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．