Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校�，連接AB．

（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為　        　；

（2）連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

（3）連接AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，

①求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，

過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交⊙O于C，如圖，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)，

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面積=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．

∴當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為9+18．

（3）①如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，

∵OC∥AD，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°

而∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴Rt△OCF∽R(shí)t△AOD，

∴=，即=，解得CF=，

在Rt△OCF中，OF==，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）；

②直線BC是⊙O的切線．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADC=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC為⊙O的切線．