Question

【題目】如圖，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，AB是弦，PA∥BC交AB于點(diǎn)D.

（1）求證：PB是⊙O的切線．
（2）當(dāng)BC=2 ，cos∠AOD= 時(shí)，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∵PO∥BC，

∴∠ADO=∠ABC=90°，即PO⊥AB，

∴AD=BD，

∴PA=PB，

在△APO和△BPO中，

，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠PBO=90°，

∴PB是⊙O的切線．

（2）∵PO∥BC，

∴∠ACB=∠AOD，

∴cos∠ACB=cos∠AOD= ，

∴ = ，

∴AC=2 ÷ =8，

∴OA= AC=4，

∵cos∠AOP= = ，

∴OP=8 ，

∴AP= =4 ，

∵PA=PB，

∴PB=4 ．

【解析】（1）證PB是⊙O的切線，需要證∠PBO=90°，可利用SSS證明△APO≌△BPO得出∠PAO=∠PBO；
（2）利用平行線的性質(zhì)和已知可得cos∠ACB=cos∠AOD，利用三角函數(shù)的定義可求得AC的長(zhǎng)，在Rt△AOP中利用三角函數(shù)可求出OP的長(zhǎng)，在Rt△AOP中利用勾股定理求得AP，由切線長(zhǎng)定理可得PB的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用解直角三角形，掌握解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．