【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=x2+bx﹣2與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(﹣1,0).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DCM的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1), D (,);(2)△ABC是直角三角形,證明見(jiàn)解析;
(3)M( ,0).
【解析】(1)∵點(diǎn)A(-1,0)在拋物線(xiàn)y=x2 + bx-2上,
∴× (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0,
解得b =,
∴ 拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-x-2.
y= ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -).
(2)當(dāng)x = 0時(shí)y = -2,
∴C(0,-2),OC = 2。
當(dāng)y = 0時(shí), x2-x-2 = 0,
∴x1 =-1, x2 = 4,
∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′,則C′(0,2),OC′=2,連接C′D交x軸于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知,MC + MD的值最小及△DCM的周長(zhǎng)最小
設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴, ∴m =.
所以M的坐標(biāo)為(,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,,以邊的中點(diǎn)為圓心,作半圓與相切,點(diǎn)分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接,則長(zhǎng)的最大值與最小值的和是__________.
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【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD的邊AD=2AB,點(diǎn)E、A、B、F在一條直線(xiàn)上,且AE=BF=AB,EC交AD于M,FD交BC于N.
(1) △AEM≌△DCM嗎?說(shuō)明理由.
(2) 四邊形CDMN是菱形嗎?說(shuō)明理由.
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【題目】對(duì),定義一種新的運(yùn)算,規(guī)定:(其中).已知,.
(1)求,的值;
(2)若關(guān)于正數(shù)的不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)解,求的取值范圍;
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出時(shí),滿(mǎn)足條件的,的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次消防演習(xí)中,消防員架起一架25米長(zhǎng)的云梯,如圖斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米.
(1)求這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?
(2)如果消防員接到命令,要求梯子的頂端下降4米(云梯長(zhǎng)度不變),那么云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,對(duì)于這樣的拋物線(xiàn):
(1)當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)和(-1,3)時(shí),求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=-2x上時(shí),求b的值.
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【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是弧BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線(xiàn);
(2)求AE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接AC、BC,過(guò)A、B、C三點(diǎn)作拋物線(xiàn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),∠BCE的平分線(xiàn)CD交⊙O′于點(diǎn)D,連結(jié)BD,求直線(xiàn)BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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