【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)yx2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)AB,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B,點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

1)求此拋物線的函數(shù)解析式;

2)過點(diǎn)PPMy軸,分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)AC、D為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)當(dāng)∠PBA2OAB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,﹣5)或(,﹣2);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,).

【解析】

1)本題所求二次函數(shù)的解析式含有兩個(gè)待定字母,一般需要兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程組,現(xiàn)在可求AB點(diǎn)坐標(biāo),代入列方程組可解答;

2)根據(jù)∠ADC90°,∠ACD=∠BCP,可知相似存在兩種情況:

當(dāng)∠CBP90°時(shí),如圖1,過PPNy軸于N,證明△AOB∽△BNP,列比例式可得結(jié)論;當(dāng)∠CPB90°時(shí),如圖2,則BP是對稱點(diǎn),可得P的縱坐標(biāo)為﹣2,代入拋物線的解析式可得結(jié)論;

3)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′,求出直線AB的解析式,再聯(lián)立拋物線的解析式解答即可.

解:(1)令x0,得yx2=-2,則B0,﹣2),

y0,得x2=0,解得x4,

A4,0),

A4,0),B0,﹣2)代入yx2+bx+ca0)中,

解得

∴拋物線的解析式為:

2)∵PMy軸,

∴∠ADC90°.

∵∠ACD=∠BCP,

∴以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似,存在兩種情況:

當(dāng)∠CBP90°時(shí),如圖,過PPNy軸于N,

∵∠ABO+PBN=∠ABO+OAB90°,

∴∠PBN=∠OAB,

∵∠AOB=∠BNP90°,

RtPBNRtBAO

=.

設(shè)P(x,x2-x-2).

=,化簡,得x2-x=0.

解得x0(舍去)或x=

當(dāng)x=時(shí),y=x2-x-2=-5..

p(,﹣5);

當(dāng)∠CPB90°時(shí),如圖2,則PBx軸,所以BP是對稱點(diǎn).

所以當(dāng)y=﹣2時(shí),即x2-x-2=-2,解得x0(舍去)或x=

P(,﹣2).

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,﹣5)或(,﹣2).

3)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′,則ABAB

∴∠BAO=∠BAO

直線AB交拋物線于P

∴∠PBA=∠BAO+BAO2BAO

A4,0),

A′(﹣4,0).

設(shè)直線AB的解析式為ykx+bk0).

B0,﹣2).

解得

∴直線AB的解析式為y=x-2.

由方程組x23x0

解得x0(舍去)或x3

當(dāng)x3時(shí),y=x-2=-

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,).

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;②;③;④

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

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A.

B.

C.

D.

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