【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點D為直線AC上方拋物線上一動點;
①連接BC、CD,設直線BD交線段AC于點E,△CDE的面積為,△BCE的面積為,求的最大值;
②過點D作DF⊥AC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求點D的橫坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①;②﹣2或.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意得到A(﹣4,0),C(0,2)代入,于是得到結論;
(2)①如圖,令y=0,解方程得到x1=﹣4,x2=1,求得B(1,0),過D作DM⊥x軸于M,過B作BN⊥x軸交于AC于N,根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論;
②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形,取AB的中點P,求得P(,0),得到PA=PC=PB=,過作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延線于G,情況一:如圖,∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,情況二,∠FDC=2∠BAC,解直角三角形即可得到結論.
試題解析:(1)根據(jù)題意得A(﹣4,0),C(0,2),∵拋物線經(jīng)過A、C兩點,∴,∴,∴;
(2)①如圖,令y=0,∴,∴x1=﹣4,x2=1,∴B(1,0),過D作DM⊥x軸于M,過B作BN⊥x軸交于AC于N,∴DM∥BN,∴△DME∽△BNE,∴ ==,設D(a, ),∴M(a,),∵B(1.0),∴N(1,),∴===;∴當a=-2時,的最大值是;
②∵A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2),∴AC=,BC=,AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形,取AB的中點P,∴P(,0),∴PA=PC=PB=,∴∠CPO=2∠BAC,∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=,過作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延長線于G.分兩種情況:
情況一:如圖,∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,∴∠CDG=∠BAC,∴tan∠CDG=tan∠BAC=,即,令D(a,),∴DR=﹣a,RC=,∴,∴a1=0(舍去),a2=﹣2,∴xD=﹣2.
情況二,∴∠FDC=2∠BAC,∴tan∠FDC=,設FC=4k,∴DF=3k,DC=5k,∵tan∠DGC==,∴FG=6k,∴CG=2k,DG=k,∴
∴RC=k,RG=k,DR=k﹣k=k,∴,∴a1=0(舍去),a2=.
綜上所述:點D的橫坐標為﹣2或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知y是x 的函數(shù),自變量x的取值范圍是x >0,下表是y與x 的幾組對應值.
x | ··· | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | ··· |
y | ··· | 1.98 | 3.95 | 2.63 | 1.58 | 1.13 | 0.88 | ··· |
小騰根據(jù)學習一次函數(shù)的經(jīng)驗,利用上述表格所反映出的y與x之間的變化規(guī)律,對該函數(shù)的圖象與性質進行了探究.
下面是小騰的探究過程,請補充完整:
(1)如圖,在平面直角坐標系 中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象,寫出:
①x=4對應的函數(shù)值y約為;
②該函數(shù)的一條性質: .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了編撰祖國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織了一次“詩詞大會”,小明和小麗同時參加,其中,有一道必答題是:從如圖所示的九宮格中選取七個字組成一句唐詩,其答案為“山重水復疑無路”.
(1)小明回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇,若隨機選擇其中一個,則小明回答正確的概率是 ;
(2)小麗回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”、第四個字是選“富”還是選“復”都難以抉擇,若分別隨機選擇,請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC的頂點分別為A(-4, 5),B(﹣3, 2),C(4,-1).
(1)作出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)寫出A1、B1、C1的坐標;
(3)若AC=10,求△ABC的AC邊上的高.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的開口向上,且經(jīng)過點.
(1)若此拋物線經(jīng)過點,且與軸相交于點.
①填空: (用含的代數(shù)式表示);
②當的值最小時,求拋物線的解析式;
(2)若,當,拋物線上的點到軸距離的最大值為3時,求的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘船以每小時30海里的速度向北偏東75°方向航行,在點 處測得碼頭 的船的東北方向,航行40分鐘后到達處,這時碼頭恰好在船的正北方向,在船不改變航向的情況下,求出船在航行過程中與碼頭的最近距離.(結果精確的0.1海里,參考數(shù)據(jù) )
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