Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在BC邊上，對(duì)稱軸交BE于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

（3）點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，請(qǐng)問是否存在以點(diǎn)A，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形；證明見解析；（3）（，2）或（，﹣2）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由B、D、E的坐標(biāo)可分別求得DE、BD和BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理可進(jìn)行判斷；

（3）由B、E的坐標(biāo)可先求得直線BE的解析式，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)AF為邊時(shí)，則有FM∥AN且FM=AN，則可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AF為對(duì)角線時(shí)，由A、F的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對(duì)稱中心，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，再由N點(diǎn)在x軸上可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，

把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；

（2）△EDB為等腰直角三角形．

證明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），

∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，

∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，

∴△EDB為等腰直角三角形；

（3）存在．理由如下：

設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，

把B、E坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線BE解析式為y=x+1，

當(dāng)x=2時(shí)，y=2，

∴F（2，2），

①當(dāng)AF為平行四邊形的一邊時(shí)，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的距離為2，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2或﹣2，

在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，

∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，

∴x＞2，

∴x=，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；

在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，

∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，

∴x＞2，

∴x=，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2）；

②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵A（4，0），F(xiàn)（2，2），

∴線段AF的中點(diǎn)為（3，1），即平行四邊形的對(duì)稱中心為（3，1），

設(shè)M（t，﹣t2+3t），N（x，0），

則﹣t2+3t=2，解得t=，

∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，

∴x＞2，

∵t＞2，

∴t=，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（，2）或（，﹣2）．