【題目】如圖,在矩形ABCD中,E 是AB 上的一點,連接DE,過點A作AF⊥DE,垂直為F.圓O經過點C ,D ,F,且與AD相交于點G.
(1)求證,△AFG∽△DFC;
(2)若AB=3,BC=5,AE=1,求圓O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)欲證明△AFG∽△DFC,只要證明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;
(2)首先證明CG是直徑且△EDA∽△ADF,結合△AFG∽△DFC,利用相似三角形的性質求出AG,得到DG,再利用勾股定理求出CG即可解決問題.
(1)證明:在矩形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠CDF+∠ADF=90°,
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DAF=∠CDF,
∵四邊形GFCD是⊙O的內接四邊形,
∴∠FCD+∠DGF=180°,
∵∠FGA+∠DGF=180°,
∴∠FGA=∠FCD,
∴△AFG∽△DFC.
(2)解:如圖,連接CG.
∵∠ADC=90°,
∴CD為⊙O的直徑,
∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,
∴△EDA∽△ADF,
∴,即,
∵△AFG∽△DFC,
∴,
∴,
在矩形ABCD中,DA=BC=5,DC=AB=3
∴
∴DG=AD-AG=5-=,
在Rt△CDG中,
∵CG是⊙O的直徑,
∴⊙O的半徑為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(問題情境)定義:如圖1,點E在四邊形ABCD的邊CD上,若AE、BE將四邊形ABCD分割成三個相似的三角形,則稱點E為該四邊形的相似點.
(1)若相似點在四邊形ABCD的邊CD上, 且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個正三角形,則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______.
(2)若相似點在四邊形ABCD的邊CD上,且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的等腰直角三角形,則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______.
(3)(探索研究)
如圖2,點E為四邊形ABCD邊上的相似點,且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的三角形,已知∠ABC=90°,AD=AB=BC=2,求邊CD的長.
(4)(問題解決)
如圖3,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E為四邊形ABCD的邊CD上的相似點,且AD=a,AB=b,BC=c(其中a≠c),此時邊CD的長為多少?請用含a、b、c的代數(shù)式直接寫出所有可能的結果.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠流長;中華漢字,寓意深廣.為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團委組織了一次全校1000名學生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了200名學生的成績(成績取整數(shù),總分100分)作為樣本進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:
成績/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.05 | |
20 | 0.10 | |
30 | ||
0.30 | ||
80 | 0.40 |
請根據(jù)所給的信息,解答下列問題:
(1)_____,_____;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在______分數(shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)的為優(yōu)等,則該校參加這次比賽的1000名學生中成績優(yōu)等的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,大海中某燈塔P周圍10海里范圍內有暗礁,一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向,該海輪向正東方向航行8海里到達點B處,這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向.如果海輪繼續(xù)向正東方向航行,會有觸礁的危險嗎?試說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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【題目】如圖,矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形ABCD的邊AD ,BC上,頂點F,H在菱形ABCD的對角線BD上,若AB=6,∠A=120°,且DE=2,則FH=_______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖1是一臺用保護套套好的帶鍵盤的平板電腦實物圖,圖2是它的示意圖,忽略平板電腦的厚度,支架BE分別固定在平板電腦AD背面中點B處,桌面E處,EB可以繞點E轉動,當點D在線段EF上滑動時,可調節(jié)平板電腦AD的傾斜角,經測量,,,支架.
(1)連接AE,求證:;
(2)當時,求A,E兩點間的距離;
(3)當點D滑到距離F點1cm處時,視覺效果最好,求此時傾斜角的度數(shù).
(參考數(shù)據(jù):,,,,結果保留一位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,頂點為的拋物線與軸的另一個交點為,連接.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)已知點的坐標為,將拋物線向上平移得到拋物線,拋物線與軸分別交于點(點在點的左側),如果與相似,求所有符合條件的拋物線的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,tan∠A=,M,N分別在AD,BC上,將四邊形AMNB沿MN翻折,使AB的對應線段EF經過頂點D,當EF⊥AD時,的值為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy,對于點P(xp,yp)和圖形G,設Q(xQ,yQ)是圖形G上任意一點,|xp﹣xQ|的最小值叫點P和圖形G的“水平距離”,|yp﹣yQ|的最小值叫點P和圖形G的“豎直距離”,點P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點P和圖形G的“絕對距離”
例如:點P(﹣2,3)和半徑為1的⊙O,因為⊙O上任一點Q(xQ,yQ)滿足﹣1≤xQ≤1,﹣1≤yQ≤1,點P和⊙O的“水平距離”為|﹣2﹣xQ|的最小值,即|﹣2﹣(﹣1)|=1,點P和⊙O的“豎直距離”為|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2,因為2>1,所以點P和⊙O的“絕對距離”為2.
已知⊙O半徑為1,A(2,),B(4,1),C(4,3)
(1)①直接寫出點A和⊙O的“絕對距離”
②已知D是△ABC邊上一個動點,當點D與⊙O的“絕對距離”為2時,寫出一個滿足條件的點D的坐標;
(2)已知E是△ABC邊一個動點,直接寫出點E與⊙O的“絕對距離”的最小值及相應的點E的坐標
(3)已知P是⊙O上一個動點,△ABC沿直線AB平移過程中,直接寫出點P與△ABC的“絕對距離”的最小值及相應的點P和點C的坐標.
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