Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=AB，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)θ=0°時(shí)，= ；

②當(dāng)θ=180°時(shí)，= ．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決

①在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為 ；

②當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）詳見解析；（3）①2+2 +1或﹣1.

【解析】分析：（1）①先判斷出DE∥CB，進(jìn)而得出比例式，代值即可得出結(jié)論；

②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先∠CAD=∠BAE，進(jìn)而判斷出△ADC∽△AEB即可得出結(jié)論；

（3）分點(diǎn)D在BE的延長線上和點(diǎn)D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）結(jié)論即可得出CD．

詳解：（1）①當(dāng)θ=0°時(shí)，

在Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴∠A=∠B=45°，AB=2，

∵AD=DE=AB=，

∴∠AED=∠A=45°，

∴∠ADE=90°，

∴DE∥CB，

∴，

∴，

∴，

故答案為：，

②當(dāng)θ=180°時(shí)，如圖1，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

即：，

∴，

故答案為：；

（2）當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，的大小沒有變化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵，

∴△ADC∽△AEB，

∴；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線時(shí)，BE最大，

在Rt△ADE中，AE=AD=2，

∴BE最大=AB+AE=2+2；

②如圖2，

當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根據(jù)勾股定理得，BD==，

∴BE=BD+DE=+，

由（2）知，，

∴CD=+1，

如圖3，

當(dāng)點(diǎn)D在BE的延長線上時(shí)，

在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根據(jù)勾股定理得，BD==，

∴BE=BD﹣DE=﹣，

由（2）知，，

∴CD=﹣1．

故答案為： +1或﹣1．