Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點，交y軸與C點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線位于第二象限的部分上是否存在點D，使得△DBC的面積S最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設拋物線的頂點為點F，連接線段CF，連接直線BC，請問能否在直線BC上找到一個點M，在拋物線上找到一個點N，使得C、F、M、N四點組成的四邊形為平行四邊形？若存在，請寫出點M和點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據題意可知，將點A、B代入函數解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數解析式；
（2）存在，設出點D的坐標，將△DBC的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點D的坐標；
（3）根據平行四邊形的性質，分①CF是邊；②CF是對角線．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-4，0）代入y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -16-4b+c=0

，
解得

b=-3 c=4

．
所以拋物線解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）在該拋物線位于第二象限的部分上是否存在點D，使得△DBC的面積S最大．理由如下：
設D點坐標為（x，-x²-3x+4）（-4＜x＜0）．如圖，過D點作DE⊥x軸于點E．
∵S_△DBC=S_{四邊形BDCO}-S_△BOC=S_{四邊形BDCO}-

1

2

×4×4=S_{四邊形BDCO}-8，
若S_{四邊形BDCO}有最大值，則S_△DBC就最大，
∴S_{四邊形BDCO}=S_△BDE+S_{直角梯形DEOC}
=

1

2

BE•DE+

1

2

OE（DE+OC）
=

1

2

（x+4）（-x²-3x+4）+

1

2

（-x）（-x²-3x+4+4）
=-2x²-8x+8
=-2（x+2）²+16，
當x=-2時，S_{四邊形BDCO}最大值=16．
∴S_△BDC最大值=16-8=8．
當x=-2時，-x²-3x+4=-（-2）²-3×（-2）+4=6，
∴點D坐標為（-2，6）；

（3）能夠在直線BC上找到一個點M，在拋物線上找到一個點N，使得C、F、M、N四點組成的四邊形為平行四邊形．理由如下：
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴頂點F的坐標為（-

3

2

，

25

4

）．
∵B（-4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=x+4．
分兩種情況：①CF是邊．
如圖，過點F作FN∥BC，交拋物線于點N，設直線FN的解析式為y=x+m，
把F（-

3

2

，

25

4

）代入，得-

3

2

+m=

25

4

，
解得m=

31

4

，
∴直線FN的解析式為y=x+

31

4

．
由

y=x+ 31 4 y=-x2-3x+4

，解得

x=- 5 2 y= 21 4

或

x=- 3 2 y= 25 4

，
∴點N的坐標為（-

5

2

，

21

4

）．
∵F（-

3

2

，

25

4

），N（-

5

2

，

21

4

），
∴FN²=（-

3

2

+

5

2

）²+（

25

4

-

21

4

）²=2．
∵四邊形CFNM是平行四邊形，
∴CM=FN．
設M點的坐標為（x，x+4），則
CM²=x²+（x+4-4）²=2x²=2，
解得x=±1，
x=1不合題意舍去，
∴x=-1，
∴M點的坐標為（-1，3）；
②CF是對角線．如圖．
∵四邊形CMFN是平行四邊形，
∴FN∥BC，CM=FN．
由①可知，點N的坐標為（-

5

2

，

21

4

），M點的橫坐標為1，
當x=1時，x+4=5，
∴M點的坐標為（1，5）．
綜上所述，符合條件的點M的坐標為（-1，3）或（1，5），點N的坐標為（-

5

2

，

21

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，三角形的面積，二次函數的最值求法，兩函數交點坐標的求法，平行四邊形的對邊平行且相等的性質等知識，難點在于（3）要分情況討論．