Question

如圖，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,過點(diǎn)D作AB的平行線交AO的延長線于點(diǎn)C,連接BC

（1）求證：四邊形ABCD是菱形。

（2）如果OA,OB(OA>OB)的長（單位：米）是一元二次方程的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積。

（3）若動點(diǎn)M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運(yùn)動到點(diǎn)C,動點(diǎn)N從B 出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運(yùn)動到點(diǎn)D，當(dāng)M運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動停止。若M、N同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，△MON的面積為？

Answer 1

（1）證明見解析；（2）5，24；（3）M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，△MON的面積為m2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；

（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對應(yīng)對角線積的一半”計(jì)算連線面積；

（3）根據(jù)點(diǎn)M、N運(yùn)動過程中與O點(diǎn)的位置關(guān)系，分三種情況分別討論．

試題解析：（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵AB=AD，∴?ABCD是菱形；

（2）【解析】
解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．

（3）【解析】
在第（2）問的條件下，設(shè)M、N同時(shí)出發(fā)x秒鐘后，△MON的面積為m2，

當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OB上時(shí)，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OD上時(shí)，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

綜上所述：M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，△MON的面積為m2．

考點(diǎn)：1.菱形的判定；2.一元二次方程的應(yīng)用；3.等腰三角形的性質(zhì)．