Question

【題目】如圖，已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y= （x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，且OBAC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y= （x＞0）；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，8）；③sin∠COA= ；④AC+OB=12 ．其中正確的結(jié)論有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵OBAC=160，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），

∴OACF= OBAC= ×160=80，菱形OABC的邊長(zhǎng)為10，

∴CF= = =8，

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴OF= = =6，

∴C（6，8），

∵點(diǎn)D時(shí)線段AC的中點(diǎn)，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），即（8，4），

∵雙曲線y= （x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，

∴4= ，即k=32，

∴雙曲線的解析式為：y= （x＞0），故①錯(cuò)誤；

∵CF=8，

∴直線CB的解析式為y=8，

∴ ，解得x=4，y=8，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），故②錯(cuò)誤；

∵CF=8，OC=10，

∴sin∠COA= = = ，故③正確；

∵A（10，0），C（6，8），

∴AC= =4 ，

∵OBAC=160，

∴OB= = =8 ，

∴AC+OB=4 +8 =12 ，故④正確．

所以答案是：B．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題．