Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且AB=10，點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）如圖1，線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度為

 

；
（2）如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求直線(xiàn)OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，且DE=10，以DE為邊在第三象限內(nèi)作正方形DGFE，請(qǐng)求出線(xiàn)段MG長(zhǎng)度的最大值，并直接寫(xiě)出此時(shí)直線(xiàn)MG所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)與斜邊的關(guān)系即可求解；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．根據(jù)AAS證明△BCQ≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CQ=CP，可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）（其中a≠0）．根據(jù)待定系數(shù)法得到直線(xiàn)OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM．根據(jù)勾股定理可得NG=5

5

．在點(diǎn)M與G之間總有MG≤MO+ON+NG（如圖3），M、O、N、G四點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)等號(hào)成立（如圖4）．可得線(xiàn)段MG取最大值10+5

5

．再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線(xiàn)MG所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=10，點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
∴線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度為5；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，
∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵三角形ACB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BCQ與△ACP中，

∠CQB=∠CPA=90° ∠BCQ=∠ACP BC=AC

∴△BCQ≌△ACP（AAS）．
∴CQ=CP．
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）（其中a≠0）．
設(shè)直線(xiàn)OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx，
∴a=ka，解得k=1，
∴直線(xiàn)OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x．

（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM．
∵∠AOB=90°，
∴OM=

1

2

AB=5．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，DE=10，
∴NG=

DN2+DG2

=

102+52

=5

5

．
在點(diǎn)M與G之間總有MG≤MO+ON+NG（如圖3），
由于∠DNG的大小為定值，只要∠DON=

1

2

∠DNG，且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)等號(hào)成立（如圖4）．
∴線(xiàn)段MG取最大值10+5

5

．
此時(shí)直線(xiàn)MG的解析式y(tǒng)=

-1+ 5

2

x．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理，四點(diǎn)共線(xiàn)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．