Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，∠CBO的正切值是2．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時終止運(yùn)動，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．
①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長．
②點(diǎn)D與B、C不重合時，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E、作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求∠EPF 的度數(shù)；若變化，請說明理由．
③在②的條件下，連接EF，求EF的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先令x=0求出OC的長度，再利用∠CBO正切值求出OB的長度，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式求出a的值，即可得解；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再判斷出點(diǎn)P經(jīng)過的路線為△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答；
②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EP=AP=

1

2

AD，F(xiàn)P=AP=

1

2

AD，再根據(jù)等邊對等角可得∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠EPF=2∠BAC，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA=OC，求出∠BAC=45°，即可得解；
③判斷出△EFP是等腰直角三角形，從而確定AD⊥BC時，EF最短，利用△ABC的面積列式求出AD⊥BC時的值，再求出EP，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

解答．

解答：解：（1）令x=0，則y=4，
∴OC=4，
∵∠CBO的正切值是2，
∴

OC

OB

=

4

OB

=2，
解得OB=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
代入二次函數(shù)y=ax²+2ax+4得，4a+2a•2+4=0，
解得a=-

1

2

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²-x+4；

（2）①在Rt△OBC中，BC=

OC2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P是線段AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P經(jīng)過的路線為△ABC的中位線，
長度為：

1

2

BC=

1

2

×2

5

=

5

；

②∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是線段AD的中點(diǎn)，
∴EP=AP=

1

2

AD，F(xiàn)P=AP=

1

2

AD，
∴∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=∠CAD+∠AEP+∠BAD+∠AFP=2∠CAD+2∠BAD=2∠BAC，
令y=0，則-

1

2

x²-x+4=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=2，x₂=-4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），
∴OA=OC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠EPF=2×45°=90°；

③∵EP=AP=

1

2

AD，F(xiàn)P=AP=

1

2

AD，
∴EP=FP，
∵∠EPF=90°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC時，EF最短，
此時，S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

BC•AD，
即

1

2

×|-4-2|×4=

1

2

×2

5

AD，
解得AD=

12 5

5

，
∴EP=

1

2

AD=

6 5

5

，
∴EF_最小=

2

EP=

2

×

6 5

5

=

6 10

5

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．