Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm． M是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，過點(diǎn)M作MB的垂線交AB于點(diǎn)N． 設(shè)AM=x cm，AN=y cm．（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，y的值為0）

探究函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律．

（1） 通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2		1.6	1.7	1.6	1.2	0

（要求：補(bǔ)全表格，相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

（2）建立平面直角坐標(biāo)系xOy，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AN=AM時(shí)，AM的長度約為 cm（結(jié)果保留一位小數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）1.4； （2）詳見解析；（3）3.4．

【解析】

（1）如圖，作輔助線：過N作NP⊥AC于P，證明△NPM∽△MCB，列比例式可得結(jié)論；
（2）描點(diǎn)畫圖即可；
（3）同理證明△NPM∽△MCB，列比例式，解方程可得結(jié)論．

解：（1）如圖，過N作NP⊥AC于P，

Rt△ACB中，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm．
∴BC=
當(dāng)x=2時(shí)，即AM=2，
∴MC=2.5，
∵∠NMB=90°，
易得△NPM∽△MCB，
∴ = ，
設(shè)NP=5a，PM=9a，則AP=15a，AN=10a，
∵AM=2，
∴15a+9a=2，
a= ，
∴y=AN=10×1.73×≈1.4；

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2	1.4	1.6	1.7	1.6	1.2	0

故答案為：1.4；

（2）如圖所示：

（3）設(shè)PN=a，則AN=2a，AP=a，

∵AN=AM，∴AM=4a,
如圖，由（1）知：△NPM∽△MCB，
∴，即 ，
解得：a≈0.84，

∴AM=4a=4×0.84=3.36≈3.4（cm）．
故答案為：（1）1.4； （2）詳見解析；（3）3.4．