Question

7．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．
求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等以及中點(diǎn)的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可得證．

解答 證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），
∴∠AEC=90°，
∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
又∵∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明得到四邊形AECF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，也是突破口．