Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0）、B（8，0）、C（8，3）．將直線l：y=-3x-3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=

 

時(shí)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．（直接填寫答案）
（2）設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S，試求S＞0時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標(biāo)軸恰好都相切的⊙M，在直線l出發(fā)的同時(shí)，⊙M以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，如圖2，則當(dāng)t為何值時(shí)，直線l與⊙M相切？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求得直線EF與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得；
（2）分四種情況分別根據(jù)三角形的面積公式或梯形的面積公式即可得出面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)直線EF的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-3（x-3t）-3得出直線MN的關(guān)系式，然后根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系式求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓心M與交點(diǎn)N的長，最后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)列出MN等于圓的半徑的關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可求得．

解答：解：（1）令y=0，則0=-3x-3，
解得x=-1，
∴直線l：y=-3x-3與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），
∵A（2，0），
∴3t=2-（-1），
解得：t=1；


（2）當(dāng)1＜t≤

4

3

時(shí)，如圖1，直線l：y=-3x-3向右平移了3t個(gè)單位，則直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
把x=2代入得：y=9（t-1），
∴AE=9（t-1），
∵直線l：y=-3x-3平移到A點(diǎn)，距離為3，
∴AF=3t-3=3（t-1），
∴S=

1

2

AF•AE=

1

2

×3（t-1）×9（t-1）=

27

2

（t-1）²，
即S=

27

2

（t-1）²；

當(dāng)

4

3

＜t≤3時(shí)，如圖2，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)E（3t-2，3），與x軸的交點(diǎn)F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3=9t-

21

2

，
即S=9t-

21

2

；

當(dāng)3＜t≤

10

3

時(shí)，如圖3，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)E（3t-2，3），與x軸的交點(diǎn)F（3t-1，0），與BC的交點(diǎn)G（8，9t-27），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，BF=3t-1-8=3t-9，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3-

1

2

（3t-9）（9t-27）=-

3

2

（3t-10）²+18，
即S=-

3

2

（3t-10）²+18；
當(dāng)t＞

10

3

時(shí)，直線l掃過矩形ABCD的面積為S為矩形ABCD的面積，
即S=18；


（3）如圖4，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，M（2t+3，3），
∴設(shè)直線MN的解析式為：y=

1

3

x+b，
把M代入求得：b=2-

2

3

t，
∴直線MN的解析式為：y=

1

3

x+2-

2

3

t，
解

y= 1 3 x+2- 2 3 t y=-3(x-3t)-3

 得：

x= 29t-15 10 y= 3t+15 10

，
∴N（

29t-15

10

，

3t+15

10

），
∵⊙M與直線相切，
∴MN=3，
∴（2t+3-

29t-15

10

）²+（3-

3t+15

10

）²=3²，
解得：t=5-

10

或t=5+

10

；
∴當(dāng)t為5-

10

或5+

10

；時(shí)，直線l與⊙M相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)直線與x軸的交點(diǎn)，三角形、梯形的面積，圓的切線的性質(zhì)等，難點(diǎn)在于（2）圖形的不同分情況討論，根據(jù)直線位置的不同分情況表示出圖形的面積．