Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在⊙O上
（1）要使CB∥MD，可以添加條件∠1=∠M，或∠C=∠D，除此之外，請你添加一個條件

 

（注，不需要再添加任何線段或字符）使之能推出CB∥MD，并證明；
（2）若BC=4，cosM=

1

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：圓周角定理,垂徑定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）添加條件∠1=∠C，能推出CB∥MD．由∠C與∠M是

BD

所對的圓周角，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先連接AC，AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理求得

BC

=

BD

，繼而可得∠A=∠M，又由BC=4，cosM=

1

3

，在Rt△ACB中利用勾股定理即可求得⊙O的直徑．

解答：解：（1）添加條件∠1=∠C，能推出CB∥MD．理由如下：
∵∠C與∠M是

BD

所對的圓周角，
∴∠C=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD．
故答案為∠1=∠C；

（2）連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠A=∠M，
∴cosA=cosM，
在Rt△ACB中，∵cosA=

AC

AB

，
∴cosM=cosA=

1

3

，
設(shè)AC=x，則AB=3x，
∵AC²+BC²=AB²，BC=4，
∴x²+4²=（3x）²，
解得，x=±

2

（負值舍去），
∴AB=3x=3

2

，
即⊙O的直徑為3

2

．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定，勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．