【題目】(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過AADED于點(diǎn)D,過BBEED于點(diǎn)E.
求證:BEC≌△CDA;
(模型應(yīng)用)
(2)①已知直線l1:y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45o至直線l2,如圖2,求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;
②如圖3,長方形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,-6),點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P是線段BC上的動點(diǎn),點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動點(diǎn)且在第四象限.若APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】證明見解析;⑵y=-7x-21;⑶D(4,-2),(.

【解析】

(1)根據(jù)ABC為等腰直角三角形,ADED,BEED,可判定ACD≌△CBE;

(2)①過點(diǎn)BBCAB,交l2C,過CCDy軸于D,根據(jù)CBD≌△BAO,得出BD=AO=3,CD=OB=4,求得C(-4,7),最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;

②根據(jù)APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動點(diǎn)且在第四象限時,分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時,當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時,設(shè)D(x,-2x+6),分別根據(jù)ADE≌△DPF,得出AE=DF,據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可.

(1)證明:如圖1,

∵△ABC為等腰直角三角形,

CB=CA,ACD+BCE=90°,

又∵ADED,BEED,

∴∠D=E=90°EBC+BCE=90°,

∴∠ACD=EBC,

ACDCBE中,

,

∴△ACD≌△CBE(AAS);

(2)①如圖2,過點(diǎn)BBCAB,交l2C,過CCDy軸于D,

∵∠BAC=45°

∴△ABC為等腰直角三角形,

由(1)可知:CBD≌△BAO,

BD=AO,CD=OB,

∵直線l1:y=x+4中,若y=0,則x=-3;若x=0,則y=4,

A(-3,0),B(0,4),

BD=AO=3,CD=OB=4,

OD=4+3=7,

C(-4,7),

設(shè)l2的解析式為y=kx+b,則

,

解得,

l2的解析式:y=-7x-21;

D(4,-2),().

理由:當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動點(diǎn)且在第四象限時,分兩種情況:

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時,如圖,過Dx軸的平行線EF,交直線OAE,交直線BCF,

設(shè)D(x,-2x+6),則OE=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8-x,

由(1)可得,ADE≌△DPF,則DF=AE,

即:12-2x=8-x,

解得x=4,

-2x+6=-2,

D(4,-2),

此時,PF=ED=4,CP=6=CB,符合題意;

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時,如圖,過Dx軸的平行線EF,交直線OAE,交直線BCF,

設(shè)D(x,-2x+6),則OE=2x-6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x,

同理可得:ADE≌△DPF,則AE=DF,

即:2x-12=8-x,

解得x=,

-2x+6=-,

D(,-),

此時,ED=PF=,AE=BF=,BP=PF-BF=<6,符合題意.

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