Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥BC交AD于點E，連接BE，點F是BE上一點，連接CF．

（1）如圖1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的長；

（2）如圖2，若BC＝EC，過點E作EM⊥CF，交CF延長線于點M，延長ME、CD相交于點G，連接BG交CM于點N，若CM＝MG，求證：EG＝2MN．

Answer 1

【答案】（1）EF＝﹣4；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用勾股定理求出EC，BE即可解決問題．

（2）如圖2中，延長GM到H，使得MH＝MG，連接CH，BH．想辦法證明EG＝BH，BH＝2MN即可解決問題．

（1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵EC⊥BC，

∴AD⊥EC，

∴∠BCE＝∠CED＝90°，

∵∠ECD＝30°，CD＝2，

∴CE＝CDcos30°＝，

在Rt△BCE中，BE＝＝，

∵BC＝CF＝4，

∴EF＝BE﹣BF＝-4．

（2）證明：如圖2中，延長GM到H，使得MH＝MG，連接CH，BH．

∵CM＝MG＝MH，CM⊥GH，

∴∠HCG＝90°，CH＝CG，

∴∠HCG＝∠BCE，

∴∠BCH＝∠ECG，

∵CB＝CE，

∴△BCH≌△ECG（SAS），

∴BH＝EG，∠CHB＝∠CGE＝45°，

∵∠CHG＝45°，

∴∠BHG＝90°，

∴∠BHG＝∠CMG＝90°，

∴MN∥BH，∵HM＝HG，

∴BN＝NG，

∴BH＝2MN，

∴EG＝2MN．