【題目】如圖1中,△ABC為等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)E為腰AB上任意一點(diǎn),以CE為底邊作等腰△DEC.且∠BAC=∠EDC=α,連結(jié)AD:
(1)如圖2中,當(dāng)α=60°時(shí),∠DAC=______,=______;
(2)如圖3中,當(dāng)α=90°時(shí),求∠DAC的度數(shù)與的值;
(3)如圖1中,當(dāng)BC=AC.∠DAC=___(用α的代數(shù)式表示)=___.
【答案】(1)60°,1;(2)∠DAC=45°,=(3)180°-2α,.
【解析】
(1)由三角形ABC與三角形CDE都為正三角形,得到AB=AC,CE=CD,以及內(nèi)角為60°,利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA,利用SAS得到三角形ECB與三角形DCA全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=AD,即可求出所求之比;
(2)由三角形CDE與三角形ABC都為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE=CD,BC=AC,以及銳角為45°,利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA,利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ECB與三角形DCA相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出所求之比;
(3)仿照前兩問,以此類推得到一般性規(guī)律,求出所求之比即可.
解:(1)∵△ABC和△CDE都是正三角形,
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°,AB=AC,CE=DC,
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE,
∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE,
∴∠ECB=∠DCA,
在△ECB和△DCA中,
,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD,∠B=∠DAC=60°,
則=1;
故答案為:60°;1;
(2)∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中,
∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°,CE=DC,BC=AC,
∴,
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE,
∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE,
∴∠ECB=∠DCA,
∴△ECB∽△DCA,
∴∠B=∠DAC=45°,
∴;
(3)依此類推,當(dāng)BC=AC時(shí),,理由為:
∵等腰△ABC和等腰△CDE中,
∴∠B=∠ACB=∠DCE,CE=DC,BC=AC,
∴,
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE,∠ACD=∠DCE-∠ACE,
∴∠ECB=∠DCA,
∴△ECB∽△DCA,
∴∠B=∠DAC=180°-2α,
∴.
故答案為:180°-2α;.
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【題目】某校為了改善辦公條件,計(jì)劃從廠家購買兩種型號(hào)電腦.已知每臺(tái)種型號(hào)電腦價(jià)格比每臺(tái)種型號(hào)電腦價(jià)格多0.1萬元,且用10萬元購買種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬購買種型號(hào)電腦的數(shù)量相同.
(1)求兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格各為多少萬元?
(2)學(xué)校預(yù)計(jì)用不多于9.2萬元的資金購進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái),其中種型號(hào)電腦至少要購進(jìn)10臺(tái),請(qǐng)問有哪幾種購買方案?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn)
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出使kx+b<成立的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】某地下車庫出口處“兩段式欄桿”如圖①所示,點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn),點(diǎn)E是欄桿兩段的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí),欄桿AEF升起后的位置如圖②所示,其示意圖如圖③所示,其中AB⊥BC,EF∥BC,∠EAB=143°,AB=AE=1.2m.現(xiàn)有一高度為2.4m的貨車要送貨進(jìn)入地下車庫,問此貨車能否安全通過?請(qǐng)通過計(jì)算說明.(欄桿寬度忽略不計(jì),參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上, 頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi),將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動(dòng)的滾動(dòng).當(dāng)滾動(dòng)一周回到原位置時(shí),點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為__ _.
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【題目】定義:有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)邊四邊形”.
(1)已知:圖①、圖②是5×5的正方形網(wǎng)格,線段AB、BC的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②中,按要求以AB、BC為邊各畫一個(gè)等對(duì)邊四邊形ABCD.
要求:四邊形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上,且兩個(gè)四邊形不全等.
(2)若每個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位,請(qǐng)直接寫出(1)問中所畫每個(gè)等對(duì)邊四邊形ABCD的面積______.
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①∠PAD=∠PDA=60; ②△PAO≌△ADE;③PO=r;④AO∶OP∶PA=1∶∶.
A. ①④B. ②③C. ③④D. ①③④
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【題目】某校九年(1)班針對(duì)“你最喜愛的課外活動(dòng)項(xiàng)目”對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查項(xiàng)目分別為球類、棋類、電腦、藝術(shù),要求每生必選且只能選其中一類,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表,繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖如下:
學(xué)生所選項(xiàng)目人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表
項(xiàng)目 | 男生人數(shù) | 女生人數(shù) |
電腦 | a | 8 |
球類 | 8 | b |
棋類 | 4 | c |
藝術(shù) | 2 | 3 |
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)該班要從參加“藝術(shù)”課外活動(dòng)的學(xué)生中選2名參加學(xué)校藝術(shù)節(jié)活動(dòng),其中有2位女生因有事而棄權(quán),請(qǐng)用列舉法(畫樹狀圖或列表)求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,CE⊥BC交AD于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)F是BE上一點(diǎn),連接CF.
(1)如圖1,若∠ECD=30°,BC=BF=4,DC=2,求EF的長(zhǎng);
(2)如圖2,若BC=EC,過點(diǎn)E作EM⊥CF,交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)ME、CD相交于點(diǎn)G,連接BG交CM于點(diǎn)N,若CM=MG,求證:EG=2MN.
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