Question

已知矩形OABC的頂點(diǎn)O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線OB方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）如圖，以P為一頂點(diǎn)的正方形PQMN的邊長(zhǎng)為2，且邊PQ⊥y軸．設(shè)正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S，當(dāng)正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．

①當(dāng)t＜4時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)t＞4時(shí)，設(shè)直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E，問：是否存在這樣的t，使得△PDE為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）（，－）；（2）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=×=t2 ；當(dāng)＜t≤時(shí)，S=2×= ；當(dāng)＜t＜4時(shí)，S=4；②t=5或.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)PN與x軸交于點(diǎn)D，先由矩形的性質(zhì)得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中運(yùn)用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出OD=，PD=，即可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①分三種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)0＜t≤時(shí)，設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)E，則S=S矩形ODPE=OD•PD；（ii）當(dāng)＜t≤時(shí)，設(shè)PN與x軸交于點(diǎn)D，QM與x軸交于點(diǎn)F，則S=S矩形PQFD=PQ•PD；（iii）當(dāng)＜t＜4時(shí)，S=S正方形PQMN；

②分三種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)4＜t≤5時(shí)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DPE＞∠DBE=90°，則△PDE不可能為直角三角形；（ii）當(dāng)t=5時(shí)，∠DPE=∠DBE=90°，此時(shí)，△PDE為直角三角形；（iii）當(dāng)t＞5時(shí)，由于∠DPE＜∠DBE=90°，則當(dāng)△PDE為直角三角形時(shí)，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，則△PNE∽△EMD，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

試題解析：（1）P（，－）

（2）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=×=t2

當(dāng)＜t≤時(shí)，S=2×=

當(dāng)＜t＜4時(shí)，S=4

②當(dāng)QM運(yùn)動(dòng)到AB位置時(shí)，恰好無公共部分，＜4＋2，即t＜.

（�。┊�(dāng)4＜t＜5時(shí)，∠DPE＞∠DBE=90º，△PDE不可能為直角三角形

（ⅱ）當(dāng)t=5時(shí)，∠DPE=∠DBE=90º，此時(shí)△PDE是直角三角形

（ⅲ）當(dāng)5＜t＜時(shí)，∠DPE＜90º，還有兩種可能，∠PDE=90º或∠PED=90º.

若∠PDE=90º，則，可得，整理得9t2－160t＋675=0，

解得，應(yīng)取

若∠PED=90º，則，可得，整理得8t2－115t＋425=0，

注意到△＜0，該方程無實(shí)數(shù)解(10分)

綜上所述，符合條件的t的值有兩個(gè)，t=5或.

考點(diǎn)：相似形綜合題．