Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），連接AB，AC．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）過點(diǎn)C作射線CD∥AB，點(diǎn)M是線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，且始終滿足BM=AP（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），過點(diǎn)M作MN∥BC分別交AC于點(diǎn)Q，交射線CD于點(diǎn)N （點(diǎn) Q不與點(diǎn)P重合），連接PM，PN，設(shè)線段AP的長為n．
①如圖2，當(dāng)n＜

1

2

AC時(shí)，求證：△PAM≌△NCP；
②直接用含n的代數(shù)式表示線段PQ的長；
③若PM的長為

97

，當(dāng)二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12的圖象經(jīng)過平移同時(shí)過點(diǎn)P和點(diǎn)N時(shí)，請直接寫出此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的應(yīng)用,相似三角形的應(yīng)用

專題：壓軸題

分析：（1）由二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，代入y=0，即可解出B，C坐標(biāo)．
（2）①求證三角形全等．易發(fā)現(xiàn)由平行可得對應(yīng)角相等，由平行四邊形對邊相等及已知BM=AP，可得對應(yīng)角的兩個(gè)鄰邊對應(yīng)相等，則利用SAS得證．
②上問中以提示n＜

1

2

AC，則我們可以分n＜

1

2

AC，n=

1

2

AC，n＞

1

2

AC三種情形討論．又已得△PAM≌△NCP，順推易得PQ與n的關(guān)系．
③上問中已得當(dāng)n＜

1

2

AC時(shí)，PQ=15-2n；當(dāng)n＞

1

2

AC時(shí)，PQ=2n-15，則也要分兩種情形討論，易得兩種情形的P，N．由圖象為二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12平移后的圖形，所以可設(shè)解析式為y=-

4

27

（x+k）²+12+h，代入即得．

解答：（1）答：（-9，0），（9，0）．
解：B、C為拋物線與x軸的交點(diǎn)，故代入y=0，得y=-

4

27

x²+12=0，
解得 x=-9或x=9，
即B（-9，0），C（9，0）．

（2）①證明：∵AB∥CN，
∴∠MAP=∠PCN，
∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形MBCN為平行四邊形，
∴BM=CN，
∵AP=BM，
∴AP=CN，
∵BO=OC，OA⊥BC，
∴OA垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴AM=AB-BM=AC-AP=CP．
在△PAM和△NCP中，

AP=CN ∠MAP=∠PCN AM=CP

，
∴△PAM≌△NCP（SAS）．
②解：1．當(dāng)n＜

1

2

AC時(shí)，如圖1，
，
∵四邊形MBCN為平行四邊形，
∴∠MBC=∠QNC，
∵AB=AC，MN∥BC，
∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，
∴∠NQC=∠QNC，
∴CN=CQ，
∵△MAP≌△PCN，
∴AP=CN=CQ，
∵AP=n，AC=

AO2+OC2

=

122+92

=15，
∴PQ=AC-AP-QC=15-2n．
2．當(dāng)n=

1

2

AC時(shí)，顯然P、Q重合，PQ=0．
3．當(dāng)n＞

1

2

AC時(shí)，如圖2，

∵四邊形MBCN為平行四邊形，
∴∠MBC=∠QNC，BM=CN
∵AB=AC，MN∥BC，
∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，
∴∠NQC=∠QNC，
∴BM=CN=CQ，
∵AP=BM，
∴AP=CQ，
∵AP=n，AC=15，
∴PQ=AP+QC-AC=2n-15．
綜上所述，當(dāng)n＜

1

2

AC時(shí)，PQ=15-2n；當(dāng)n＞

1

2

AC時(shí)，PQ=2n-15．
③y=-

4

27

x2+

16

9

x+4或y=-

4

27

x2+

32

9

x-12．
分析如下：
1．當(dāng)n＜

1

2

AC時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交MN于E，交BC于F．
此時(shí)△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=15-2n．

∵PM=PN，
∴ME=EN=

1

2

MN=

1

2

BC=9，
∴PE=

PM2-ME2

=

97-81

=4，
∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ=5，
∴15-2n=5，
∴AP=n=5，
∴PC=10，
∴FC=6，PF=8，
∵OF=OC-FC=9-6=3，EN=9，EF=PF-PE=8-4=4，
∴P（3，8），N（12，4）．
設(shè)二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12平移后的解析式為y=-

4

27

（x+k）²+12+h，
∴

8=- 4 27 (3+k)2+12+h 4=- 4 27 (12+k)2+12+h

，
解得

k=-6 h=- 8 3

，
∴y=-

4

27

（x-6）²+12-

8

3

=-

4

27

x²+

16

9

x+4．
2．當(dāng)n＞

1

2

AC時(shí)，如圖4，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交MN于E，交BC于F．
此時(shí)△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=2n-15．

∵PM=PN，
∴ME=EN=

1

2

MN=

1

2

BC=9，
∴PE=

PM2-ME2

=

97-81

=4，
∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ=5，
∴2n-15=5，
∴AP=n=10，
∴PC=5，
∴FC=3，PF=4，
∵OF=OC-FC=9-3=6，EN=9，EF=PF+PE=4+4=8，
∴P（6，4），N（15，8）．
設(shè)二次函數(shù)y=-

4

27

x²+12平移后的解析式為y=-

4

27

（x+k）²+12+h，
∴

4=- 4 27 (6+k)2+12+h 8=- 4 27 (15+k)2+12+h

，
解得

k=-12 h=- 8 3

，
∴y=-

4

27

（x-12）²+12-

8

3

=-

4

27

x²+

32

9

x+4．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形全等、相似的證明與性質(zhì)，函數(shù)平移及待定系數(shù)法求過定點(diǎn)函數(shù)解析式等知識．回答題目是一定注意多問綜合題目問題之間的相關(guān)性，順著題目思路遞推易得思路．本題計(jì)算量稍大，難度適中，適合學(xué)生訓(xùn)練．