Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以邊AC為直徑作⊙O，與斜邊AB交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是邊BC的中點(diǎn)，連接MN．  
（1）如圖①，求證：MN是⊙O的切線；
（2）如圖②，作直徑MD，連接DN，若MN=

3

2

，sinA=

3

5

，求DN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)CM、OM，根據(jù)圓周角定理由AC為⊙O的直徑得到∠AMC=90°，而點(diǎn)N是邊BC的中點(diǎn)，所以MN為Rt△BCM的斜邊BC上的中線，則NM=NC，所以∠1=∠2，加上∠3=∠4，則∠1+∠4=∠2+∠3，即∠OMN=∠OCN，得到∠OMN=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到MN是⊙O的切線；
（2）連結(jié)MC，由①得MN為Rt△BCM的斜邊BC上的中線，得到BC=2MN=3，在Rt△ABC中，利用正切的定理可計(jì)算出AB=5，再利用勾股定理開始計(jì)算出AC=4，則MD=4，然后在Rt△DMN中根據(jù)勾股定理計(jì)算DN的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)CM、OM，如圖①，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AMC=90°，
∵點(diǎn)N是邊BC的中點(diǎn)，
∴NM=NC，
∴∠1=∠2，
∵OM=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠OMN=∠OCN，
而∠ACB=90°，
∴∠OMN=90°，
∴OM⊥MN，
∴MN是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)MC，如圖②，由①得MN為Rt△BCM的斜邊BC上的中線，
∴BC=2MN=2×

3

2

=3，
在Rt△ABC中，sinA=

BC

AB

=

3

5

，
∴AB=5，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∴MD=4，
在Rt△DMN中，DN=

DM2+MN2

=

42+( 3 2 )2

=

73

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和勾股定理．