Question

已知：如圖，在△ACB中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)CP，且cot∠APC=

3

4

，
（1）求CP的長；
（2）求∠BCP的正弦值．

Answer 1

考點：解直角三角形

專題：

分析：（1）過點C作CH⊥AB于點H，在Rt△ACH中求出CH，再由cot∠APC=

3

4

，可求出HP，在Rt△CHP中，利用勾股定理可求出CP；
（2）先求出BH，繼而得出PB，在Rt△PGB中求出PG，從而可求出∠BCP的正弦值．

解答：解：（1）過點C作CH⊥AB于點H，
∵∠A=30°，AC=8，
∴CH=4，
∵在Rt△CHP中，cot∠APC=

PH

CH

=

3

4

，
∴PH=3，
∴CP=

CH2+HP2

=5．
（2）∵在Rt△CHB中，∠B=45°，CH=4，
∴BH=4，
∴PB=BH-HP=1，
過點P作PG⊥BC于點G，
∵在Rt△PGB中，∠B=45°，PB=1，
∴PG=

2

2

，
∴在Rt△PGC中，sin∠BCP=

PG

CP

=

2

10

．

點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，注意熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．