Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，以邊BC為直徑作半圓O，點E在AB上，且AE=1.5cm，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明情況；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）過點O作OF⊥DE，垂足為點F，在Rt△ADE中利用勾股定理計算出DE=2.5，再利用面積法求出OF=1，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷DE與半圓O相切；
（2）利用陰影部分的面積=梯形BECD的面積-半圓的面積求解．

解答 解：（1）DE與半圓O相切．理由如下：
過點O作OF⊥DE，垂足為點F，
在Rt△ADE中，∵AD=2，AE=1.5，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+1．{5}^{2}}$=2.5，
∵S_{四邊形BCDE}=S_△DOE+S_△BOE+S_△CDO，
∴$\frac{1}{2}$（0.5+2）×2=$\frac{1}{2}$×2.5•OF+$\frac{1}{2}$×1×0.5+$\frac{1}{2}$×1×2，
∴OF=1，
∵OF的長等于圓O的半徑，OF⊥DE，
∴DE與半圓O相切；
（2）陰影部分的面積=梯形BECD的面積-半圓的面積
=$\frac{1}{2}$×（0.5+2）×2-$\frac{1}{2}$•π•1²
=$\frac{5-π}{2}$（cm²）．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．注意把不規(guī)律圖形的面積的計算問題化為規(guī)則圖形面積的和差的計算問題．