Question

如圖，點E、F為線段BD的兩個三等分點，四邊形AECF是菱形．
（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明；
（2）若菱形AECF的周長為20，BD為24，試求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；
（2）根據菱形的四條邊都相等求出邊長AE，根據菱形的對角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．

解答：解：（1）四邊形ABCD為菱形．
理由如下：如圖，連接AC交BD于點O，
∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵點E、F為線段BD的兩個三等分點，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形AECF為菱形；

（2）∵四邊形AECF為菱形，且周長為20，
∴AE=5，
∵BD=24，
∴EF=8，OE=

1

2

EF=

1

2

×8=4，
由勾股定理得，AO=

AE2-OE2

=

52-42

=3，
∴AC=2AO=2×3=6，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

BD•AC=

1

2

×24×6=72．

點評：本題考查了菱形的判定與性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質，勾股定理以及利用菱形對角線求面積的方法，熟記菱形的性質與判定方法是解題的關鍵．