Question

閱讀理解
（1）發(fā)現(xiàn)一：
一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），若k的絕對值越大，此一次函數(shù)的圖象與過點（0，b）且平行于x軸的直線所夾的銳角就越大．
根據(jù)發(fā)現(xiàn)請解決下列問題：圖①是y=k₁x+2、y=k₂x+2、y=k₃x+2、y=k₄x+2四個一次函數(shù)在同一坐標系中的圖象，比較k₁、k₂、k₃、k₄的大小

 

．（用“＜”或“＞”號連接）
（2）發(fā)現(xiàn)二：
我們知道函數(shù)y₁=k₁x+b₁與y₂=k₂x+b₂的交點的橫坐標是方程k₁x+b₁=k₂x+b₂的解．類似的，|x-1|=

1

2

x+1的解就是y=|x-1|和y=

1

2

x+1的兩個圖象交點的橫坐標．
求含有絕對值的方程|x-1|=

1

2

x+1的解．
解：在同一直角坐標系中畫出y=|x-1|，y=

1

2

x+1的圖象如圖②．
由圖象可知方程|x-1|=

1

2

x+1的解有兩個．
情況一：由圖象可知當x＞1時，y=|x-1|=x-1，即x-1=

1

2

x+1，解得x=4
情況二：由圖象可知當x≤1時，y=|x-1|=-x+1，即-x+1=

1

2

x+1，解得x=0
所以方程|x-1|=

1

2

x+1的解為x₁=4、x₂=0
利用以上方法，解關于x的方程|x-2|=-

1

2

x+1．
（3）拓展延伸
解關于x的方程|x-2|=ax（a為常數(shù)且a≠0）．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）想知道k之間的大小關系，圖中又無其他信息，對此我們可以自己找點來近似的估計k值，如可近似估計四條線上的各一個異于（0，2）的點，然后代入求出k₁、k₂、k₃、k₄．再比較即可．
（2）仿照例題，有圖象看出交點情況，每個交點都表示方程有一個解，其解即為其橫坐標，這是函數(shù)的性質．
（3）在坐標系中畫出y=|x-2|圖象，則其與y=ax圖象的交點情況即表示方程|x-2|=ax的解的情況．因為對y=ax，當x=0時，y=0，所以直線y=ax必過原點O，即圖象可能為任一過點O的直線以點O為中心旋轉360°過程中的任一情況，考慮全面，再利用（1）的性質、（2）的方法求解即可．此處可以做y=（-1）•x和y=1•x的圖象作為考慮問題的參考．

解答：解：
（1）k₄＜k₃＜k₂＜k₁．
下為分析過程，不用作答．

如圖近似估計四條線上的各一個異于（0，2）的點，然后代入求出k₁、k₂、k₃、k₄．再比較即可．

（2）如圖，在坐標系中畫出y=|x+2|和y=-

1

2

x+1的圖象，
由圖象可知方程|x+2|=

1

2

 x+1的解有兩個．
情況一：當x＞-2時，y=|x+2|=x+2，即x+2=-

1

2

x+1，解得x=-

2

3

．
情況二：當x≤-2時，y=|x+2|=-x-2，即-x-2=-

1

2

x+1，解得x=-6．
∴方程|x+2|=-

1

2

x+1的解為x₁=-

2

3

或 x₂=-6．
（3）

如圖，在坐標系中畫出y=|x-2|圖象，則其與y=ax圖象的交點情況即表示方程|x-2|=ax的解的情況．
∵對y=ax，當x=0時，y=0，
∴直線y=ax必過原點O，即圖象可能為任一過點O的直線以點O為中心旋轉360°過程中的任一情況，
∴圖象分為過一、三象限，過二、四象限，與x軸重合，與y軸重合四種情況．
由（1）知，直線過一、三象限時，a＞0，a越大，銳角越大；過二、四象限時，a＜0，a越小，銳角越大；與x軸重合，a=0，與y軸重合，a不存在．且對y=kx+b，k相等的直線平行．
如圖，畫y=（-1）•x和y=1•x的圖象，

觀察可知，
當a＜-1時，有一個解，此時x＜2，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

；
當-1≤a＜0時，無解；
當0＜a＜1時，有兩個解，當x＜2時，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

；當x＞2時，y=|x-2|=x-2，即x-2=ax，解得x=-

2

a-1

；
當a≥1時，有一個解，此時x＜2，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

．

點評：本題考察學生對直線y=kx+b這個基本解析式的理解，尤其是對其中兩個系數(shù)k，b的掌握和理解，同時考查學生的學習、理解能力，是否能夠夠舉一反三，總體來說對學生要求比較高．另外題目所展示的性質和方法是數(shù)形結合解決方程的重要方法之一，雖然尚未深入學習，但非常值得理解、體會、應用．