Question

閱讀理解
（1）發(fā)現(xiàn)一：
一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），若k的絕對(duì)值越大，此一次函數(shù)的圖象與過(guò)點(diǎn)（0，b）且平行于x軸的直線所夾的銳角就越大．
根據(jù)發(fā)現(xiàn)請(qǐng)解決下列問(wèn)題：圖①是y=k₁x+2、y=k₂x+2、y=k₃x+2、y=k₄x+2四個(gè)一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，比較k₁、k₂、k₃、k₄的大小

 

．（用“＜”或“＞”號(hào)連接）
（2）發(fā)現(xiàn)二：
我們知道函數(shù)y₁=k₁x+b₁與y₂=k₂x+b₂的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程k₁x+b₁=k₂x+b₂的解．類(lèi)似的，|x-1|=

1

2

x+1的解就是y=|x-1|和y=

1

2

x+1的兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
求含有絕對(duì)值的方程|x-1|=

1

2

x+1的解．
解：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x-1|，y=

1

2

x+1的圖象如圖②．
由圖象可知方程|x-1|=

1

2

x+1的解有兩個(gè)．
情況一：由圖象可知當(dāng)x＞1時(shí)，y=|x-1|=x-1，即x-1=

1

2

x+1，解得x=4
情況二：由圖象可知當(dāng)x≤1時(shí)，y=|x-1|=-x+1，即-x+1=

1

2

x+1，解得x=0
所以方程|x-1|=

1

2

x+1的解為x₁=4、x₂=0
利用以上方法，解關(guān)于x的方程|x-2|=-

1

2

x+1．
（3）拓展延伸
解關(guān)于x的方程|x-2|=ax（a為常數(shù)且a≠0）．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）想知道k之間的大小關(guān)系，圖中又無(wú)其他信息，對(duì)此我們可以自己找點(diǎn)來(lái)近似的估計(jì)k值，如可近似估計(jì)四條線上的各一個(gè)異于（0，2）的點(diǎn)，然后代入求出k₁、k₂、k₃、k₄．再比較即可．
（2）仿照例題，有圖象看出交點(diǎn)情況，每個(gè)交點(diǎn)都表示方程有一個(gè)解，其解即為其橫坐標(biāo)，這是函數(shù)的性質(zhì)．
（3）在坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x-2|圖象，則其與y=ax圖象的交點(diǎn)情況即表示方程|x-2|=ax的解的情況．因?yàn)閷?duì)y=ax，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，所以直線y=ax必過(guò)原點(diǎn)O，即圖象可能為任一過(guò)點(diǎn)O的直線以點(diǎn)O為中心旋轉(zhuǎn)360°過(guò)程中的任一情況，考慮全面，再利用（1）的性質(zhì)、（2）的方法求解即可．此處可以做y=（-1）•x和y=1•x的圖象作為考慮問(wèn)題的參考．

解答：解：
（1）k₄＜k₃＜k₂＜k₁．
下為分析過(guò)程，不用作答．

如圖近似估計(jì)四條線上的各一個(gè)異于（0，2）的點(diǎn)，然后代入求出k₁、k₂、k₃、k₄．再比較即可．

（2）如圖，在坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x+2|和y=-

1

2

x+1的圖象，
由圖象可知方程|x+2|=

1

2

 x+1的解有兩個(gè)．
情況一：當(dāng)x＞-2時(shí)，y=|x+2|=x+2，即x+2=-

1

2

x+1，解得x=-

2

3

．
情況二：當(dāng)x≤-2時(shí)，y=|x+2|=-x-2，即-x-2=-

1

2

x+1，解得x=-6．
∴方程|x+2|=-

1

2

x+1的解為x₁=-

2

3

或 x₂=-6．
（3）

如圖，在坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x-2|圖象，則其與y=ax圖象的交點(diǎn)情況即表示方程|x-2|=ax的解的情況．
∵對(duì)y=ax，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，
∴直線y=ax必過(guò)原點(diǎn)O，即圖象可能為任一過(guò)點(diǎn)O的直線以點(diǎn)O為中心旋轉(zhuǎn)360°過(guò)程中的任一情況，
∴圖象分為過(guò)一、三象限，過(guò)二、四象限，與x軸重合，與y軸重合四種情況．
由（1）知，直線過(guò)一、三象限時(shí)，a＞0，a越大，銳角越大；過(guò)二、四象限時(shí)，a＜0，a越小，銳角越大；與x軸重合，a=0，與y軸重合，a不存在．且對(duì)y=kx+b，k相等的直線平行．
如圖，畫(huà)y=（-1）•x和y=1•x的圖象，

觀察可知，
當(dāng)a＜-1時(shí)，有一個(gè)解，此時(shí)x＜2，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

；
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，無(wú)解；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有兩個(gè)解，當(dāng)x＜2時(shí)，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

；當(dāng)x＞2時(shí)，y=|x-2|=x-2，即x-2=ax，解得x=-

2

a-1

；
當(dāng)a≥1時(shí)，有一個(gè)解，此時(shí)x＜2，y=|x-2|=-x+2，即-x+2=ax，解得x=

2

a+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察學(xué)生對(duì)直線y=kx+b這個(gè)基本解析式的理解，尤其是對(duì)其中兩個(gè)系數(shù)k，b的掌握和理解，同時(shí)考查學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解能力，是否能夠夠舉一反三，總體來(lái)說(shuō)對(duì)學(xué)生要求比較高．另外題目所展示的性質(zhì)和方法是數(shù)形結(jié)合解決方程的重要方法之一，雖然尚未深入學(xué)習(xí)，但非常值得理解、體會(huì)、應(yīng)用．