Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點是邊上任意一點（不與點重合），連接，以線段為直角邊作等腰直角（點在直線右側），，連接，則的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過Q作QE⊥AB于E，在EP上截取EF=EQ，連接QF，根據(jù)全等三角形性質得出AF=PE=10，依據(jù)△EFQ是等腰直角三角形可得FQ與FB夾角始終為45°，進而得到當BQ⊥FQ時，BQ最小，根據(jù)△BQF為等腰直角三角形進一步求解即可得出BQ長度.

如圖所示，過Q作QE⊥AB于E，在EP上截取EF=EQ，連接QF，

∵△DPQ為等腰直角三角形，四邊形ABCD為矩形，

∴DP=PQ，∠A=∠PEQ，

易證：∠ADP=∠EPQ，

∴△ADP≌△EPQ(AAS)，

∴AP=QE=EF，AD=PE=10，

∴AF=PE=10，

∵△EFQ為等腰直角三角形，

∴∠QFE=45°，即FQ與FB夾角始終為45°，

∴如圖所示，當BQ⊥FQ時，BQ最小，此時△BQF為等腰直角三角形，

又∵QE⊥BF，

∴BE=EF=QE=AP，

∵PE=10，

∴BE=AP=，

∴BF=5，

∴BQ=cos45°BF=

即BQ最小值為

故答案為：