Question

平行于x軸的一條直線交拋物線y=x²-2x-3于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：先把解析式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，由于EF∥x軸，則E、F為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，而以EF為直徑的圓恰與x軸相切于Q，所以以EF為直徑的⊙P的圓心P在直線x=1上，切點(diǎn)Q為直線x=1與x軸的交點(diǎn)，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（1，t），PE=PF=t，接著表示出F點(diǎn)坐標(biāo)（1+t，t），根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把F（1+t，t）代入y=x²-2x-3得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)切線的性質(zhì)確定圓的半徑．

解答：解：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∵EF∥x軸，以EF為直徑的圓恰與x軸相切于Q，如圖，
∴E、F為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
∴以EF為直徑的⊙P的圓心P在直線x=1上，切點(diǎn)Q為直線x=1與x軸的交點(diǎn)，
設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（1，t），PE=PF=t，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（1+t，t），
把F（1+t，t）代入y=x²-2x-3得t=（1+t）²-2（1+t）-3，
整理得t²-t-4=0，
解得t₁=

1+ 17

2

，t₂=

1- 17

2

，
當(dāng)EF在x軸上方時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1+ 17

2

），此時(shí)圓的半徑為

1+ 17

2

；
當(dāng)EF在x軸上方時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1- 17

2

），此時(shí)圓的半徑為

17 -1

2

；
∴此圓的半徑為

1+ 17

2

或

17 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用求根公式法解一元二次方程．