Question

【題目】某廠計劃生產A、B兩種產品共100件，已知A產品每件可獲利潤400元，B產品每件可獲利潤500元，其中規(guī)定生產B產品的數量不超過A產品數量的2倍，設生產A產品的數量為x(件)，生產兩種產品的獲利總額為y(元)

（1）寫出y與x之間的函數表達式；

（2）該廠生產A、B兩種產品各多少臺，才能使獲利總額最大？最大利潤是多少？

（3）在實際生產過程中，A產品生產成本下降了m(0＜m＜200)元且最多生產60件，B產品生產成本不變，請根據以上信息，設計出該廠生產100件A、B兩種產品獲利最多的生產方案．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣100x+50000；（2）該廠生產A種產品為34臺、B種產品為66臺時，才能使獲利總額最大，最大利潤是46600元；（3）當0＜m＜100時，生產A種產品34臺，B種產品66臺可以獲得最大利潤；當m=100時，生產A種產品在34到60臺，B種產品與A種產品正好100臺，可以獲得最大利潤；當100＜m＜200時，生產A種產品60臺，B種產品40臺可以獲得最大利潤．

【解析】

（1）根據題意和題目中的數據可以求得y與x之間的函數表達式；

（2）根據題意可以求得獲利總額最大時生產A和B各多少臺，并求得最大利潤；

（3）利用分類討論的方法可以求得各種情況下的最大利潤，并寫出相應的方案．

（1）由題意可得：

y=400x+500(100﹣x)=﹣100x+50000，

即y與x之間的函數關系式為y=﹣100x+50000；

（2）∵規(guī)定生產B產品的數量不超過A產品數量的2倍，

∴100﹣x≤2x，

解得：x，

∵y=﹣100x+50000，

∴當x=34時，y取得最大值，此時y=﹣100×34+50000=46600，

100﹣x=66，

答：該廠生產A、B兩種產品分別為34臺、66臺時，才能使獲利總額最大，最大利潤是46600元；

（3）由題意可得：

y=(400+m)x+500(100﹣x)=(m﹣100)x+50000，

當0＜m＜100時．

∵x≤60且x為整數，

∴當x=34時，y取得最大值，此時y=34m+46600＜50000，

100﹣x=66；

當m=100時，y的最大值為50000；

當100＜m＜200時．

∵x≤60且x為整數，

∴當x=60時，y取得最大值，此時y=60m+44000＞50000，

100﹣x=40，

答：當0＜m＜100時，生產A種產品34臺，B種產品66臺可以獲得最大利潤；當m=100時，生產A種產品在34到60臺，B種產品與A種產品正好100臺，可以獲得最大利潤；當100＜m＜200時，生產A種產品60臺，B種產品40臺可以獲得最大利潤．