Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)（－1，0），點(diǎn)C(0，－2)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；

（3）此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形.若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）若點(diǎn)是線段下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

(1) (2) 外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（，0）．(3) P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) (4) 點(diǎn)M（2，﹣3），△MBC面積最大值是4.

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn) （－1，0），點(diǎn)C(0，－2)代入解析式，即可求出a、c的值，從而二次函數(shù)的解析式可求；

（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

（3）根據(jù)梯形的定義即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．

（1）將A（－1，0）、點(diǎn)C(0，－2)．代入

求得：

（2）∵A（-1，0）、C（0，-2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（，0）．

（3）共三個(gè)P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) 

（4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=x-2；

設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，

當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0；

∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；

∴直線l：y=x-4．

所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：

，

解得：

即 M（2，-3）．

過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．

∴點(diǎn)M（2，﹣3），△MBC面積最大值是4.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．