【題目】如圖,已知:在坐標(biāo)平面內(nèi),等腰直角中,,,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,軸于點.

1)求點的坐標(biāo);

2)求點的坐標(biāo);

3)如圖,點軸上,當(dāng)的周長最小時,求出點的坐標(biāo);

4)在直線上有點,在軸上有點,求出的最小值.

【答案】1)點的坐標(biāo)為;(2)點的坐標(biāo)為;(3)點的坐標(biāo)為;(4)最小值為9.

【解析】

1)過C作直線EFx軸,分別過點AB作直線EF的垂線,垂足分別為EF,證明ΔACE≌ΔCBF,得到CF=AE,BF=CE,即可得到結(jié)論;

2)分別過點ABx軸的垂線,垂足分別為G、H易證ΔAGD≌ΔBHD,得到GD=HD.由G(-30),H(1,0),即可得到結(jié)論;

3)作點A(-51)關(guān)于軸的對稱點A' (-5-1),連接AP,A' PA' C.過A' A' Ry軸于R,則AP=A' P,根據(jù)ΔACP的周長=AC+AP+CP=AC+A'P+CPAC+A'C.根據(jù)△A'RC和△COP都是等腰直角三角形,得到PO=CO=4,從而得到結(jié)論.

4)作點B關(guān)于直線AC的對稱點B'.過B'B'Ry軸于R,過BBTy軸于T.可證明△B'RC≌△BTC,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可B'的坐標(biāo).過點B'x軸的垂線交直線AC于點M,交x軸于點N,則BM+MN=B'M+MN.根據(jù)垂線段最短可得它的最小值即線段B'N的長.即可得到結(jié)論.

1)如圖,過C作直線EFx軸,分別過點AB作直線EF的垂線,垂足分別為EF,

∴∠E=F=90°,

∴∠EAC+ECA=90°.

∵∠ACB=90°,

∴∠BCF+ECA=90°,

∴∠BCF=EAC

又∵AC=BC,

∴ΔACE≌ΔCBF,

CF=AE,BF=CE

∵點A(-5,1),點C(0,4),

CF=AE=3,BF=CE=5,且5-4=1,

∴點B的坐標(biāo)為(3,-1);

2)如圖,分別過點A、Bx軸的垂線,垂足分別為G、H,

∴∠AGD=BHD=90°.

又∵∠ADG=BDH,AG=BH=1,

∴ΔAGD≌ΔBHD,

GD=HD

G(-3,0),H(10),

GH=4,

GD=HD=2

OD=OG-GD=3-2=1,

∴點D的坐標(biāo)為(-10);

3)作點A(-5,1)關(guān)于軸的對稱點A' (-5,-1),連接AP,A' PA' C.過A' A' Ry軸于R

AP=A' P,

∴ΔACP的周長=AC+AP+CP=AC+A'P+CPAC+A'C

A'R=5CR=CO+OR=4+1=5,

A'R=CR,

∴△A'RC是等腰直角三角形,

∴∠CA'R=45°.

A'Rx軸,

∴∠CPO=CA'R=45°,

∴△COP是等腰直角三角形,

PO=CO=4,

∴點P的坐標(biāo)為(-40)

4)如圖,作點B(3,-1)關(guān)于直線AC的對稱點B'.過B'B'Ry軸于R,過BBTy軸于T

BC=B'C,∠B'RC=BTC=90°,∠B'CR=BCT,

∴△B'RC≌△BTC,

B'R=BT=3,CR=CT=CO+OT=4+1=5,

OR=OC+CR=4+5=9

B'(-3,9)

過點B'x軸的垂線交直線AC于點M,交x軸于點N,則BM+MN=B'M+MN

根據(jù)垂線段最短可得它的最小值即線段B'N的長.

BM+MN的最小值為9

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