Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（3，0）．點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式；

（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（，）；（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為.

【解析】

（1）已知二次函數(shù)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式。

（2）根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PQ的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解：（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

二次函數(shù)的解析是為y=﹣x2+2x+3；

（2）若四邊形POP′C為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上，

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E，

∵C（0，3），

∴E（0，），

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，

當(dāng)y=時，即﹣x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）如圖2，

P在拋物線上，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得．

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

AB=3﹣（﹣1）=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+（﹣m2+3m）×3

=﹣（m﹣）2+，

當(dāng)m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當(dāng)m=時，﹣m2+2m+3=，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為．