Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，0），B（0，4），現(xiàn)將線段AB向右平移8個單位得到線段DC（D與A對應(yīng)，C與B對應(yīng)），若P、Q兩點分別在x軸、y軸正半軸上，且OQ=2OP．
（1）當(dāng)OP=3時，求四邊形PQCD的面積；
（2）在線段BC上是否存在點R，使△OPQ≌△BQR？若存在，求出點R坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出OA、OB再根據(jù)平移求出BC、OD的長，再求出OQ，然后根據(jù)S_{四邊形PQCD}=S_△BCQ+S_梯形PDCQ-S_△POQ列式計算即可得解；
（2）①OQ＜OB時，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，分OQ與BQ是對應(yīng)邊和OQ與BR是對應(yīng)邊兩種情況，表示出OB，然后求出BR，再寫出點R的坐標(biāo)即可；②OQ＞OB時，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BQ=OP，求出BQ=OB，再求出BR，然后寫出點R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵線段AB向右平移8個單位得到線段DC，
∴BC=8，OD=AD-OA=8-3=5，
∵OP=3，
∴OQ=2OP=2×3=6，
∴BQ=OQ-OB=6-4=2，
∴S_{四邊形PQCD}=S_△BCQ+S_梯形PDCQ-S_△POQ，
=

1

2

×2×8+

1

2

×（5+8）×4-

1

2

×3×6，
=8+26-9，
=25；

（2）①如圖1，OQ＜OB時，若OQ與BQ是對應(yīng)邊，
∵OB=OQ+BQ=4，
∴OQ=2，
∵OQ=2OP，
∴OP=

1

2

OQ=

1

2

×2=1，
∴BR=OP=1，
∴點R（1，4）；
若OQ與BR是對應(yīng)邊，則BQ與OP是對應(yīng)邊，
∵OQ=2OP，
∴OB=OQ+BQ=3OP=4，
解得OP=

4

3

，
∴BR=OQ=

8

3

，
∴點R（

8

3

，4）；
②如圖2，OQ＞OB時，∵△OPQ≌△BQR，
∴BQ=OP，
∵OQ=2OP，
∴OQ=OB+BQ=2OB=2×4=8，
∴BR=OQ=8，
∴點R（8，4），
綜上所述，存在點R（1，4）或（

8

3

，4）或（8，4），使△OPQ≌△BQR．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積，難點在于（2）要分兩種情況討論求解．