Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C

（1）求拋物線的函數(shù)解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題；壓軸題．

【分析】（1）由于拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，

解得：．

故函數(shù)解析式為：y=x²+2x．

 

（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，

由四邊形AODE可知D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，

則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得D（1，3）．

綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）．

 

（3）存在．

如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根據(jù)勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，

∵BO²+CO²=BC²，

∴△BOC是直角三角形，

假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，

設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，

①若△AMP∽△BOC，則=，

即x+2=3（x²+2x），

得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．

當(dāng)x=時，y=，即P（，），

②若△PMA∽△BOC，則=，

即：x²+2x=3（x+2），

得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）

當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．

故符合條件的點(diǎn)P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)D和點(diǎn)P的坐標(biāo)，注意分類討論思想的運(yùn)用，難度較大．