Question

如圖，等圓⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁經(jīng)過⊙O₂的圓心，順次連接A、O₁、B、O₂．
（1）求證：四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）若⊙O₁的半徑為2，求圖中陰影部分的面積；
（3）過直徑AC的端點C作⊙O₁的切線CE交AB的延長線于E，連接CO₂交AE于D，探究△AO₂D與△ACE之間有什么關系，并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題,勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì),扇形面積的計算,相似三角形的判定

專題：綜合題

分析：（1）由⊙O₁和⊙O₂是等圓即可推出四邊形AO₁BO₂是菱形．
（2）易證△AO₁O₂和△BO₁O₂都是等邊三角形，從而有∠AO₂B=∠AO₁B=120°，而AB左右兩陰影部分面積相等，左部分的面積等于S_扇形O2AB-S_菱形AO1BO2，根據(jù)扇形和菱形的面積公式就可求出圖中陰影部分的面積．
（3）易證∠AO₂D=∠ACE=90°，∠O₂AD=∠CAE，從而有△AO₂D∽△ACE，且相似比為AO₂：AC=1：2．

解答：解：（1）證明：∵⊙O₁和⊙O₂是等圓
∴AO₁=BO₁=O₂A=O₂B，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形．
（2）連接O₁O₂，交AB于點H，如圖所示，
∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴AB⊥O₁O₂，AH=BH，O₁H=O₂H=1．
∵O₁A=O₁B=2，
∴AH=BH=

3

．
∴AB=2

3

．
∴S_菱形AO1BO2=

1

2

O₁O₂•AB=2

3

．
∵AO₁=BO₁=O₂A=O₂B=O₁O₂，
∴△AO₁O₂和△BO₁O₂都是等邊三角形．
∴∠AO₂O₁=∠BO₂O₁=60°．
∴∠AO₂B=120°．
同理：∠AO₁B=120°．
∴S_陰影=2（

120π×22

360

-2

3

）=

8π

3

-4

3

．
∴圖中陰影部分的面積為

8π

3

-4

3

．
（3）△AO₂D∽△ACE，相似比為1：2．
證明：∵AC是⊙O₁的直徑，
∴∠AO₂C=90°．
∵CE與⊙O₁相切于點C，
∴AC⊥CE，即∠ACE=90°．
∴∠AO₂D=∠ACE=90°．
∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₂AD=∠CAE．
∴△AO₂D∽△ACE．
其相似比為AO₂：AC=1：2．

點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、扇形的面積公式、菱形的面積公式、勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，考查了用割補法求不規(guī)則圖形的面積，有一定的綜合性．