Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=15cm，BC=20cm．點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，點(diǎn)E同時從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度均為1cm/s．當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接DE，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時間為t（s），△CDE的面積為S（cm²）．
（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（2）t為何值時，S等于△ABC的面積的一半？
（3）將線段DE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段D′E，過點(diǎn)D作DF⊥D′E，垂足為F，連接CF．在點(diǎn)D、E運(yùn)動過程中，線段CF的長是否變化？若不變，求出其值，若變化，求出它與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,解一元二次方程-因式分解法,相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意可以用t的代數(shù)式表示CD、CE的長，就可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍．
（2）根據(jù)S等于△ABC的面積的一半建立方程，解這個方程就可求出對應(yīng)的t的值．
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可以推出EC•DF+DE•FC=DC•EF；由∠DFE=90°，∠DEF=45°可得EF=DF=

2

2

DE；從而可以得到EC+

2

FC=DC，進(jìn)而求出FC=

5 2

2

，是一個定值．

解答：解：（1）如圖1，
由題可得：BD=1×t=t（cm），AE=1×t=t（cm）．
∵AC=15cm，BC=20cm，
∴CD=（20-t）cm，CE=（15-t）cm．
∵∠ACB=90°，
∴S△CDE=

1

2

(20-t)(15-t)=

1

2

t2-

35

2

t+150．
∵點(diǎn)D到達(dá)終點(diǎn)的時間為20÷1=20（秒），
點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)的時間為15÷1=15（秒），
∴0＜t＜15．
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

1

2

t²-

35

2

t+150，t的取值范圍是0＜t＜15．
（2）當(dāng)S=

1

2

S_△ABC時，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×15×20=150，
∴

1

2

t2-

35

2

t+150=75．
整理得：t²-35t+150=0．
則有（t-30）（t-5）=0．
解得：t₁=30，t₂=5．
∵0＜t＜15，
∴t=5．
∴當(dāng)t等于5秒時，S等于△ABC面積的一半．
（3）線段CF的長度不變化，是一個定值，長度為

5 2

2

．
證明：作∠GFD=∠CFE，交DC于點(diǎn)G，如圖2，
∵DF⊥ED′，∠ACB=90°，
∴∠DFO=∠OCE=90°．
∴∠FDO=90°-∠FOD，∠CEO=90°-∠COE．
∵∠FOD=∠COE，
∴∠FDO=∠CEO．
∵∠GFD=∠CFE，∠FDG=∠CEF，
∴△DGF∽△ECF．
∴

DG

EC

=

DF

EF

．
∴EC•DF=DG•EF．
∵∠DFO=∠OCE，∠FOD=∠COE，
∴△DFO∽△ECO．
∴

OF

OC

=

OD

OE

．
∵∠FOC=∠DOE，
∴△FOC∽△DOE．
∴∠FCO=∠DEO．
∵∠GFD=∠CFE，
∴∠DFO=∠CFG．
∵∠DFE=∠CFG，∠DEF=∠FCG，
∴△DFE∽△GFC．
∴

DE

GC

=

FE

FC

．
∴DE•FC=GC•EF．
∴EC•DF+DE•FC=DG•EF+GC•EF=DC•EF．
∵∠DFE=90°，∠DEF=45°，
∴∠FDE=∠DEF=45°．
∴sin∠FDE=

EF

DE

=

2

2

，sin∠FED=

DF

DE

=

2

2

．
∴EF=DF=

2

2

DE．
∴EC•

2

2

DE+DE•FC=DC•

2

2

DE．
∴EC+

2

FC=DC．
∴FC=

DC-EC

2

=

(20-t)-(15-t)

2

=

5 2

2

．
∴線段CF的長度不變化，是一個定值，長度為

5 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、特殊角的三角函數(shù)值等知識，而通過構(gòu)造相似三角形證出EC•DF+DE•FC=DC•EF是解決第三小題的關(guān)鍵．