Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線相交于P．弦CE平分∠ACB，交直徑AB于點F，連結(jié)BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）探究線段PC，PF之間的大小關(guān)系，并加以證明；
（3）若tan∠PCB=

3

4

，BE=5

2

，求PF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，則AD∥OC，根據(jù)等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)即可證得；
（2）根據(jù)圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)定理證明∠PFC=∠PCF，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（3）證明△PCB∽△PAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB與PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．

解答：解：（1）連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．
證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．

（3）連接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴

AE

=

BE

，
∴AE=BE．
又∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°．
AB=

2

BE=10，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴

PB

PC

=

BC

CA

．
∵tan∠PCB=tan∠PCD=

3

4

．
∴

PB

PC

=

BC

CA

=

3

4

．
設(shè)PB=3x，則PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）²=（4x）²+5²，
解得x₁=0，x2=

30

7

．
∵x＞0，∴x=

30

7

，
∴PF=PC=

120

7

．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．