【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)過(guò)點(diǎn)A,B,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P(m,n)(n<0)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠APB為鈍角時(shí),求m的取值范圍;
(3)若m>,當(dāng)∠APB為直角時(shí),將該拋物線向左或向右平移t(0<t<)個(gè)單位,點(diǎn)C、P平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為C′、P′,是否存在t,使得首位依次連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短?若存在,求t的值并說(shuō)明拋物線平移的方向;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) 拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣2;C( ,﹣ ).(2) ﹣1<m<0或3<m<4;(3)
【解析】分析:(1)待定系數(shù)法求解析式即可,求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式即可.
(2)因?yàn)?/span>AB為直徑,所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí),滿(mǎn)足∠APB為鈍角,所以-1<m<0,或3<m<4.
(3)左右平移時(shí),使A′D+DB″最短即可,那么作出點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C″,得到直線P″C″的解析式,然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可.
詳解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)過(guò)點(diǎn)A,B,
∴,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣2;
∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣)2﹣,
∴C(,﹣).
(2)如圖1,以AB為直徑作圓M,則拋物線在圓內(nèi)的部分,能使∠APB為鈍角,
∴M(,0),⊙M的半徑=.
∵P′是拋物線與y軸的交點(diǎn),
∴OP′=2,
∴MP′=,
∴P′在⊙M上,
∴P′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(3,﹣2),
∴當(dāng)﹣1<m<0或3<m<4時(shí),∠APB為鈍角.
(3)存在;
拋物線向左或向右平移,因?yàn)?/span>AB、P′C′是定值,所以A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短,只要AC′+BP′最小;
第一種情況:拋物線向右平移,AC′+BP′>AC+BP,
第二種情況:向左平移,如圖2所示,由(2)可知P(3,﹣2),
又∵C(,﹣)
∴C'(﹣t,﹣),P'(3﹣t,﹣2),
∵AB=5,
∴P″(﹣2﹣t,﹣2),
要使AC′+BP′最短,只要AC′+AP″最短即可,
點(diǎn)C′關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″(﹣t,),
設(shè)直線P″C″的解析式為:y=kx+b,
,
解得
∴直線y=,
當(dāng)P″、A、C″在一條直線上時(shí),周長(zhǎng)最小,
∴=0
∴t=.
故將拋物線向左平移個(gè)單位連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=ax+b與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A(﹣4,1)、B(m,﹣4),且直線l與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求直線l的解析式;
(2)若不等式ax+b>﹣成立,則x的取值范圍是 ;
(3)若直線x=n(n<0)與y軸平行,且與雙曲線交于點(diǎn)D,與直線l交于點(diǎn)H,連接OD、OH、OA,當(dāng)△ODH的面積是△OAC面積的一半時(shí),求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn),且△AEC是以AC為腰的等腰三角形,則∠BCE的度數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)N,連接BM,DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點(diǎn)E在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合),∠CEB=45°,EB與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng);
(2)如果把△CAE的周長(zhǎng)記作C△CAE,△BAF的周長(zhǎng)記作C△BAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域;
(3)當(dāng)∠ABE的正切值是時(shí),求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)如果∠AOB=α,其他條件不變,求∠MON的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市自來(lái)水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,采取按月用水量分段收費(fèi)辦法,若某戶(hù)居民應(yīng)交交費(fèi)(元)與用水量(噸)的函數(shù)關(guān)系如圖所示。
(1)分別寫(xiě)出當(dāng)和時(shí),與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若某用戶(hù)該月用水21噸,則應(yīng)交水費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,G為BC邊上一點(diǎn),BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,連接DE.
(1)求證:△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1,四邊形ABED的面積為6,求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠1=∠2,∠A=∠F,求證:∠C=∠D.請(qǐng)閱讀下面的解答過(guò)程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式)
證明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(_______)
∴∠2=∠3(等量代換)
∴BD∥_____(_______)
∴∠4=_____(_______)
又∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥_____(_______)
∴∠4=_____(_______)
∴∠C=∠D(等量代換)
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