【題目】點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)是關(guān)于x的函數(shù)y=mx2﹣(2m+1)x+m+1(m為實數(shù))圖象上兩個不同的點.對于下列說法:①不論m為何實數(shù),關(guān)于x的方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一個根為x=1;②當(dāng)m=0時,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0成立;③當(dāng)x1+x2=0時,若y1+y2=0,則m=﹣1;④當(dāng)m≠0時,拋物線頂點在直線y=﹣x+1上.其中正確的是( 。
A.①②B.①②③C.③④D.①②④
【答案】A
【解析】
根據(jù)方程解的定義對①進行判斷;先得到當(dāng)m=0時,函數(shù)解析式為y=﹣x+1,則可計算出,于是可根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)對②進行判斷;當(dāng)m=﹣1時,解析式為﹣+,可計算出+=2≠0,于是可對③進行判斷;先計算出頂點坐標(biāo),然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對④進行判斷.
當(dāng)x=1時,y=mx2﹣(2m+1)x+m+1=m﹣2m﹣1+m+1=0,
則方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一個根為x=1,所以①正確;
當(dāng)m=0時,y=﹣x+1,則y1=﹣x1+1,y2=﹣x2+1,
所以(x1﹣x2)(y1﹣y2)=(x1﹣x2)(﹣x1+x2)=﹣(x1﹣x2)2,
而點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)是兩個不同的點,
所以x1x2,
則(x1﹣x2)(y1﹣y2)=﹣(x1﹣x2)2<0,所以②正確;
當(dāng)m=﹣1時,y=﹣x2+x,
則y1=﹣x12+x1,y2=﹣x22+x2,
所以y1+y2=﹣x12+x1﹣x22+x2=﹣(x1+x2)2+2x1x2+(x1+x2),
當(dāng)x1+x2=0時,
y1+y2=2x1x2≠0,所以③錯誤;
當(dāng)m≠0時,頂點的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,
當(dāng)x=時,,
所以拋物線的頂點不在直線上,所以④錯誤.
綜上:①②正確,
故選:A.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2﹣2x+b的頂點在x軸上,P(p,m),Q(q,m)(p<q)是拋物線上的兩點.
(1)當(dāng)m=b時,求p,q的值;
(2)將拋物線沿y軸平移,使得它與x軸的兩個交點間的距離為4,試描述出這一變化過程.
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【題目】如圖,點在線段上,在的同側(cè)作角的直角三角形和角的直角三角形,與,分別交于點,,連接.對于下列結(jié)論:
①;②;③圖中有5對相似三角形;④.其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.4個D.3個
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【題目】如圖,點A是反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上任意一點,AB∥x軸交反比例函數(shù)y=﹣的圖象于點B,以AB為邊作平行四邊形ABCD,其中C、D在x軸上,若SABCD=7,則k=__.
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【題目】如圖二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象交x軸于A(﹣1,0),B(2,0)兩點,交y軸于點C,過A,C兩點畫直線.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點D,使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,請直接寫出點D的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由。
(3)若點Q在AC下方的拋物線上運動,求以A、C、Q為頂點的三角形的面積最大值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)和的圖象相交于點,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)設(shè)一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象的另一個交點為,連接,求的面積.
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【題目】如圖,M,N是以AB為直徑的⊙O上的點,且=,弦MN交AB于點C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于點F.
(1)求證:MF是⊙O的切線;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△OAB的直角頂點A在x軸上,∠B=30°,反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過OB邊上的點C和AB的中點D,連接AC.已知S△OAC=4,則實數(shù)k的值為( 。
A.4B.6C.8D.10
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線與直線交于、兩點,直線分別交軸、軸于、兩點,為軸上一點.已知,點坐標(biāo)為.
(1)將線段沿軸平移得線段(如圖1),在移動過程中,是否存在某個位置使的值最大?若存在,求出的最大值及此時點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(2)將直線沿射線平移,平移過程中交的圖象于點(不與重合),交軸于點(如圖2).在平移過程中,是否存在某個位置使為以為腰的等腰三角形?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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