Question

如圖，直線y=﹣3x﹣3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C，經(jīng)過點(diǎn)C且對稱軸為x=1的拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）試求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動，同時，點(diǎn)N在線段OC上以相同的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動（當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動），又PN∥x軸，交AC于P，問在運(yùn)動過程中，線段PM的長度是否存在最小值？若有，試求出最小值；若無，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）A（﹣1，0）；C（0，﹣3）；

（2）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（3）在運(yùn)動過程中，線段PM的長度存在最小值．

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式y(tǒng)=﹣3x﹣3，將y=0代入求出x的值，得到直線與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)，將x=0代入求出y的值，得到直線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，且過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣3），可得到方程組，解方程組即可求出拋物線的解析式；

（3）由對稱性得點(diǎn)B（3，0），設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t），則可得xP．再過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t=時，PM2最小值為，即在運(yùn)動過程中，線段PM的長度存在最小值．

試題解析：（1）∵y=﹣3x﹣3，

∴當(dāng)y=0時，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）；

∵當(dāng)x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（3）由對稱性得點(diǎn)B（3，0），設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t）．

即-t=-3xp-3

xp=，

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則D（，0），

∴MD=（3﹣t）﹣（）=﹣+4，

∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），

又∵﹣＜3，

∴當(dāng)t=時，PM2最小值為，

故在運(yùn)動過程中，線段PM的長度存在最小值．

考點(diǎn)：1、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2、待定系數(shù)法；3、勾股定理；4、二次函數(shù)的性質(zhì)